Я бы постарался сделать эффект полного присутствия подумав немного ответил Борщов.
Да, продолжила, Татьяна, поэтому свой текст на экране и своего собеседника мы видим без зеркального отражения, а изображение своей фигуры как в зеркальном отражении. И всё что у нас за головой, попадающее в поле веб камеры, мы также видим как в зеркале, посмотрите же на Артура ещё раз!
Ах, да! стукнул по своему столу Борщов. ну какой я тупица! Это же надо, как просто! Коллеги, Вы меня положили на обе лопатки!
Ребята дружно улыбнулись, ещё бы: один гол в их пользу.
Ну а теперь, я уверен, что с Теоремой Ферма Вы справитесь, улыбаясь сказал Борщов. Что Вам удалось отыскать?
Матвей достал стопку листов с рисунками и стал пояснять. Он пытался разворачивать текст и рисунки к Борщову, но тот остановил репликой: я читаю вверх ногами без труда.
Матвей не торопясь начал:
Давайте рассмотрим терему Ферма с позиции физики и геометрии. Именно в этом направлении есть шансы отыскать решение, основные идеи которого можно схематично уместить на достаточно широких полях книги.
Рис. 2.1. Гиперкубы с ребрами a, b и c, вписанные друг в друга с общим центром, совпадающим с началом координат в пространстве размерности 3.
Не меняя общности, можно считать что справедливо неравенство для нашей тройки чисел a <b, где b, в свою очередь, меньше числа с, стоящего в правой части уравнения теоремы Ферма. Слагаемые a, b не могут быть равными, в силу иррациональности числа 2, которое невозможно представить в виде дроби, состоящей из не имеющих общих делителей числителя и знаменателя p и q. (см. Рис. 1.1. выше).
На деле оказывается, что таким делителем всегда будет двойка и её степени, а это означает, что исходное предложение относительно числителя и знаменателя оказались ошибочными: оба они чётные, делятся на два, а мы исходно предполагали, что p, q не имеют общих делителей, которые заранее сократили.
Матвей говорил, водя карандашом по рисунку:
Предположим, что искомая тройка целых чисел существует. Можно сопоставить ей соответствующую фигуру в виде гиперкубов с ребрами a, b и c, вписанными друг в друга в многомерном пространстве.
.
Вкусная коробочка в зазеркалье
Артур закрыл глаза и вспомнил, как накануне вечером Татьяна пригласил его подойти к трильяжу тройному зеркалу на тумбе. Мама несколько раз порывалась выбросить этот бабушкин антиквариат, но Татьяна отстояла: очень ей нравилось рассматривать свои наряды и прочёску с помощью главного основного и двух боковых поворачивающихся зеркал.
Ух как вкусно пахнет! сказал Артур, схватив с тумбочки изящную коробочку из под одеколона.
Отдай! Я сюда пригласил тебя не для того, чтобы нюхать парфюм быстро ответил Татьяна и разложила на столе приготовленные для эксперимента предметы. Смотри что я буду делать внимательно, а лучше снимай на видео.
Татьяна развернула зеркала в одну линию и придвинула коробочку плотно к правому углу главного зеркала. А затем спросила:
Сколько ты видишь здесь коробочек?
Ну конечно, две.
А теперь? Татьяна повернула к себе под прямым углом правое малое зеркало.
Теперь четыре ответил Артур. Ну это и дураку понятно. В чём фокус?
Не перебивай и смотри дальше!
Татьяна достала из ящика стола еще одно небольшое зеркало размером с тетрадь и положила его под коробочку.
Ну, а теперь сколько ты видишь здесь коробочек?
Раз, два\, три да их уже стало восемь! ответил Артур. Интересно!
Дальше будет самое интересное, остановила его Татьяна. Теперь я утеплю нашу коробочку. С этими словами она достала из портфеля квадратные постеры, отсчитала три пачки по десять листочков и принялась ими аккуратно оклеивать переднюю, боковую и верхнюю грани коробочки.
Ты как-то плохо утепляешь свой домик улыбаясь заметил Артур. у тебя остаются щели.
Вижу. Сейчас дойдёт очередь и до них.
И Татьяна извлекла из коробка три спички, срезала ножницами серные головки, чтобы не мешали, слегка промазала спички клеем и прикрепила на рёбра утепляемого домика.
Всё равно остаётся вот эта дырка! заметил Артур, указав пальцем на верхнюю боковую вершину созданного домика.
Всему своё черёд спокойно ответил Татьяна, закрывая эту вершину кусочком красного пластилина размером со спичечную головку. А теперь скажи, сколько вершин ты видишь?
Вижу. Сейчас дойдёт очередь и до них.
И Татьяна извлекла из коробка три спички, срезала ножницами серные головки, чтобы не мешали, слегка промазала спички клеем и прикрепила на рёбра утепляемого домика.
Всё равно остаётся вот эта дырка! заметил Артур, указав пальцем на верхнюю боковую вершину созданного домика.
Всему своё черёд спокойно ответил Татьяна, закрывая эту вершину кусочком красного пластилина размером со спичечную головку. А теперь скажи, сколько вершин ты видишь?
Настоящую? Одну.
Да нет, я не то имела ввиду. Сколько всего вершин ты видишь, не важно настоящие или отражённые?
Раз, два, три ну конечно восемь ответил Артур.
Вот именно! Каждое зеркало удваивает реальные и отражённые предметы, словно они такие же реальные. Два умножить на два, умножить на два или 23 будет восемь.
Само собой, а где обещанный фокус?
Фокуса никто не обещал, но он всё-таки здесь есть улыбаясь ответил Татьяна. Заметь, всё что я делала с малой коробочкой повторялось в зеркальном отражении. Я оклеила всего три грани: верхнюю, левую боковую и обращенную к нам. И в результате все шесть граней нашей фигуры стали покрытыми. Я прикрепила всего три спички по рёбрам домика и в итоге все двенадцать рёбер нашего домика были закрыты. Наконец, я поместила кусочек пластилина в одну вершину все восемь вершин оказались аккуратно зарытыми. Тем самым, мы покрыли нашу коробочку слоем. состоящим их трёх граней, трёх ребер и одной вершины.
Экономно задумчиво заметил Артур. Но что всё это значит?
А это значит, что можно работать с тем представлением, которое нам удобно, но результат будет один. назидательно сказала Татьяна. Нам удобно описывать слой в представлении куба или гиперкуба «зажатого в угол» между зеркалами, так проще описывать его математическими формулами. В других ситуациях, нам важно заострить своё внимание на симметричности гиперкуба, совместив его центр с началом координат. Но оба представления легко преобразуются друг в друга. Ты всё аккуратно записал на видео?
Да
Значит ты легко убедишься: всё, что ты делаешь с гиперкубом, зажатым в угол между зеркалами, одновременно появляется в зеркальном отражении и наоборот. От наблюдателя можно закрыть основной гиперкуба, те есть нашу коробочку шторкой, но легко представить себе все действия над ним, глядя в зеркальные отражения. Верно?
Верно.
А ещё обрати внимание на зеркало. указала пальцем Татьяна. Это не просто зеркало а гиперплоскость, в данном эксперименте мы с тобой работали с трёхмерным кубом, зеркало было двумерным, то есть на единицу меньшим пространством. Если бы работали с двумерным квадратом, то все отражения я в таком же порядке произвела бы от двух одномерных прямых, которые, в двумерном мире сыграли бы роль зеркал.
Угу ответил Артур.
Ну раз ты говоришь «угу», то что ты скажешь относительно четырёхмерного пространства?
Да подумаю так, так, так -так- так многозначительно наморщил лоб Артур. Кажется там был бы особый трильяж с трёхмерными зеркалами, где отразился бы четырёхмерный гиперкуб. Но, убей меня, не могу себе как следует это представить!
Ничего страшного! успокоила брата Татьяна, там гиперплоскости стали бы уже трёхмерными, число отражений стало бы: два умножить на два, умножить словом, так четыре произведения двойки, итого 24 или шестнадцать. Столько же стало бы вершин вместе с отражением. Ну и так далее. . . . Татьяна озабоченно посмотрела на часы. Детское время кончилось. Всё это нам очень пригодиться завтра на встрече. подытожила Татьяна. И не ударь лицом в грязь со своими дурацкими, ненужными вопросами!
Между прочим, я та самая целевая группа, ради которой «производятся все эти танцы». И мои вопросы вовсе не дурацкие возразил Артур.
.
Пифагоровы тройки на шахматной доске
А тем временем Матвей продолжал:
Следующие рисунки представляют вписанные друг в друга гиперкубы для случаев размерностей пространства n = 2 то есть плоскости:
Рис. 2.2 Для размерности пространства n = 2, квадраты на плоскости, легко увидеть Пифагорову тройку 32+42=52
А здесь вершина каждого гиперкуба, выделенного цветом, совпадает с началом координат, в дальнейшем начало координат будет помещаться также в центр гиперкуба. Фигуры в виде композиции гиперкубов начало координат в вершинах и начало координат в центрах гиперкубов преобразуются друг в друга за счет отражения от гиперплоскостей и масштабирования.