Com digué Eugene Wigner, les matemàtiques tenen una «irraonable eficàcia» en les ciències naturals per tal dajudar a entendre la realitat. Una forma, la daquestes ciències, danalitzar la realitat que com es veu pels avenços de la intel·ligència artificial no pot ésser aliena a la filosofia; almenys pel que fa a uns fenòmens naturals, i com a tals evolutius, com ara són el llenguatge i el raonament. Ni tampoc pot ésser aliena a leconomia i a la sociologia, on els intents de fer prediccions tractant els mons econòmic i social com si fossin el sistema planetari o un problema actuarial és a dir, amb idees científiques típiques de la ciència del segle XIX i començaments del XX, no paren dacumular uns errors que, en part, són generats per no relacionar com cal uns conceptes qualitatius prèviament precisats en el context en el qual es presenten i per no tenir-ne en compte la intencionalitat.
El raonament és un dels vehicles que suporten el coneixement i si no hi ha uns marcs naturals en què representar i controlar els raonaments, no hi ha manera destablir bé el coneixement. El millor control del raonament és el que facilita la deducció en un marc formal que, sempre, permet saber fins a quin punt és vàlid el que safirma, és a dir, permet determinar els límits de validesa del que es diu i es conclou; aquesta és la gran utilitat dels models matemàtics, sobretot si no són acceptats de manera acrítica i fora de context. Això, des del meu punt de vista, no limita la reflexió de tipus filosòfic, sinó que li obre una via cap a possibilitats despeculació més sòlides, més comprensibles i fins i tot més criticables. És una manera, si més no, de defensar el raonament, estudiant-lo amb la precisió que ara mateix resulta possible. ¿Quina millor defensa que aquella que partint de lestimació per quelcom pretén entendre-ho de la millor manera possible?
Tant de bo si, a més a més, el que segueix servís perquè algun pensador tornés a mirar-se la vella filosofia analítica des dun nou punt de vista. Un punt de vista des del qual els conceptes de context i de propòsit, de disseny del marc formal de representació i de control dels processos de raonament, són molt importants. Quelcom que no és molt llunyà del que pretenien els integrants del Cercle de Viena ni, sens dubte, dun investigador que era al seu llindar, en Karl Menger, qui sempre va apostar pel que anomenà el «pensament exacte» del qual, com un dels més grans geòmetres del segle XX, en fou un mestre. Ni ho és dun altre gran geòmetra del mateix segle, en Lluís Santaló, quan advertia contra les solucions trivials dels problemes socials. A la fi, la idea de lestudi more geometrico no és nova; molts pensadors grecs, tot i anomenar-se filòsofs, van començar a geometritzar el món.
Tant de bo si, amb paraules de Joan Brossa, amb aquest llibret lautor shagués despullat i el lector vestit.
ENRIC TRILLAS
Uviéu i Mieres del Camín (Astúries), febrer de 2015
Agraïments
Com que gairebé mai no he treballat sol i reclòs en mi mateix, vull citar aquells que decidiren fer llurs tesis doctorals amb mi i majudaren en la gènesi de les idees que presento i els col·legues amb els quals nhe discutit algunes. Una mostra, petita, però que pretén simbolitzar-los a tots, la composen Claudi Alsina (Barcelona), Claudio Moraga (Dortmund i Mieres), i Settimo Termini (Palermo). Vull, a més a més, explicitar el meu deute envers dels mestres que més mhan influït, Francesc Sales i Vallès (Barcelona), Karl Menger (Chicago), Lotfi A. Zadeh (Berkeley) i molts dels autors citats a les referències. Ben segur, però, que cap dells és responsable dels meus errors.
També tinc un deute amb Josep-Maria Terricabras, per orientar-me quan em sentia perdut per tal de publicar aquest llibret, amb Publicacions de la Universitat de València i, en particular, amb Vicent Olmos per acollir-lo gentilment i tenir-ne cura de ledició.
A tots, els resto molt agraït.
INTRODUCCIÓ
1. Som a lanomenada era de la informació; la comunicació entre les persones ha assolit nivells que només fa trenta anys eren impensables. Sabem, i veiem, moltes de les coses que passen al món de manera sovint instantània; la informació el traspassa gairebé a la velocitat de la llum i la rebem dimmediat. Es pensa i sinvestiga sobre la comunicació de notícies de tota mena i, per a tot, cal fer raonaments; per això, lestudi i la reflexió sobre què és el raonament i de quins tipus consta és fonamental. Com també ho ha estat en moments anteriors de levolució cultural de la humanitat, però amb la diferència que avui es disposa de metodologies matemàtiques que permeten posar les coses negre sobre blanc; unes metodologies destudi lorigen de les quals es pot datar cap a mitjan segle XIX, amb els treballs pioners dAugustus de Morgan i George Boole.
Tothom raona i hi ha gent que, quan parla o escriu, enraona; és a dir, parla dacord amb la raó, mostra raons pel que afirma, nega o dubta. Una altra cosa és la correcció dels raonaments que es fan, tant en el cas general de raonar com en el més específic denraonar, però, entendre el que et diuen i que entenguin el que dius és fonamental, fins i tot per copsar els possibles errors, propis o daltres; altrament no hi ha una bona transmissió de criteris, coneixements o, simplement, dinformació. En català, igual que en aranès i que jo sàpiga en cap altre idioma, tenim la sort de poder fer una subtil distinció entre parlar i enraonar que, no obstant, i potser degut al que passa amb altres idiomes, sembla que actualment sestà perdent i que cada cop més la gent usa parlar enlloc denraonar; una llàstima car enraonar té un toc de racionalitat que jutjo duna intencionalitat important.
També sacostuma a confondre pensar amb raonar; el fet de pensar no pot ser observat directament per la gent i correspon a les neurociències destudiar-lo. Raonar és una de les manifestacions «externes» de pensar que és observable directament per la gent; per exemple, ho és quan enraonem. A la fi, el prefix en- no indica sinó lacció de raonar; com també passa en altres contexts amb entintar, enrajolar, ennuvolar-se, etc.
Ara bé, no sha de confondre raonar amb deduir i, molt menys, amb deduir formalment, que és gairebé exclusiu del raonament de la prova matemàtica, la qual no només està sotmesa a regles estrictes per anar des de les premisses (la informació admesa) fins a les conclusions, sinó que gairebé només considera predicats precisos, predicats definits a través denunciats del tipus «si i només si». Un predicat ben típic de les matemàtiques és, per exemple, el predicat P = primer aplicat a nombres enters positius: un tal nombre és primer si i només si és únicament divisible per la unitat i per ell mateix; així 7 és primer, però 8 no ho és ja que a part dels divisors 1 i 8, també té els divisors 2 i 4. En canvi, 7 no té més divisors que 1 i 7 i, per això, és primer.
Un matemàtic, però, quan raona per tal dimaginar què pot ésser una conclusió dallò del que parteix, ho fa com tothom; de fet, indueix o especula com pot, a partir del que sap, sobre quines poden ésser les possibles conclusions i després, sempre de forma deductiva, li cal refutar-ne unes i provar-ne unes altres. Fins al moment dintentar fer una prova deductiva, el matemàtic ha fet salts inferencials, ha fet un treball artesanal que, fins i tot, pot haver-lo conduït a unes conclusions provisionals després desmentides per la prova.
Un matemàtic, però, quan raona per tal dimaginar què pot ésser una conclusió dallò del que parteix, ho fa com tothom; de fet, indueix o especula com pot, a partir del que sap, sobre quines poden ésser les possibles conclusions i després, sempre de forma deductiva, li cal refutar-ne unes i provar-ne unes altres. Fins al moment dintentar fer una prova deductiva, el matemàtic ha fet salts inferencials, ha fet un treball artesanal que, fins i tot, pot haver-lo conduït a unes conclusions provisionals després desmentides per la prova.
Cada branca de la ciència té les seves maneres de «provar» les conclusions que formen el seu corpus de coneixement; a les matemàtiques es fa per mitjà de la deducció formal que permet controlar ben finament la seva correcció, diguem-ne interna. Entre altres branques destudi, a les ciències experimentals la confrontació amb la realitat estudiada, el control extern, és fonamental però a qualsevol branca el control, diguem-ne intern, del raonament és essencial; sobretot ho és quan el raonament no es deductiu sinó inductiu, quan es fan «salts» de les premisses a les conclusions i sense saber si realment existeix un camí que hi porti, com passa a la deducció que és, per això, raonament amb «xarxa de seguretat». El que no sobté deductivament no és segur; només és «possible» i cal sotmetre-ho a contrastació per augmentar la confiança en la conjectura obtinguda. Convé saber que moltes de les conclusions que sassoleixen usualment no són sinó provisionals i que resten a lespera de més informació que permeti acceptar-les provisionalment o rebutjar-les. Molt del coneixement comú té data de caducitat, encara que no es conegui quina és.
Mentre la neurociència no pugui aclarir com el pensar autoritza el raonar, com funciona i quins són els seus fonaments neuronals, poc més podem fer que enraonar-ne de la manera més constructiva possible i de la qual els models matemàtics, que permeten delimitar els coneixements que es tenen, en són una part duna seguretat relativa; una seguretat donada, en bona mesura, per la claredat del punt de partida, del punt darribada i del mètode emprat per anar de lun a laltre. Un mètode que, i no és poc, assegura saber quan les afirmacions darribada no poden ser vàlides si el procés seguit per tal darribar-hi no ha estat prou fi.
2. A la parla ordinària es fan servir molts predicats imprecisos; predicats P que, usualment, no es poden definir allà on sapliquen de la manera «si i només si», sinó que només es poden descriure de la manera «x és P si tal i tal». És el cas, per exemple, del predicat P = jove aplicat a una població nombrosa que, en el llenguatge ordinari, no és pas coincident amb el predicat precís «té un màxim de x anys», ja que no parteix la població en dues parts complementàries com fa aquest últim que, en prendre x = 35, la parteix entre els individus amb edat entre 0 i 35 anys, i els dedat més gran de 35 anys. Si sentén el «jove» de la parla usual com «amb un màxim de 35 anys», aleshores caldria preguntar-se per què no prendre 35 anys més o menys uns quants dies. ¿Quina seria la diferencia com a joves de dues persones amb 35 anys i 35 anys i dos dies? Aquesta mena dargumentació es pot aplicar a tots els predicats imprecisos del llenguatge; en fer-los precisos, es canvia el que volen dir. El predicat precís «amb un màxim de 35 anys», és una restricció de limprecís «jove», que té més matisos que no el primer. No és el mateix ésser jove que no tenir més de 35 anys dedat. És un assumpte que es posa clarament de relleu, per exemple, en el pagament dels impostos i lavaluació dels estudiants; els talls que shi fan, de lestil «exactament a partir de tants diners es paga», o «per aprovar cal treure exactament i almenys un 5», són, si més no, injustos.
El fet que la parla ordinària estigui plena de predicats imprecisos, ja fa veure que el raonament ordinari (també nomenat de cada dia o de sentit comú), el que fa tothom contínuament, no és coincident amb el raonament de les proves matemàtiques. Un raonament per provar el teorema de Pitàgores és essencialment diferent, per exemple, del raonament per deixar una bona propina en un restaurant. El primer, fet per qui sigui i com sigui, sempre que es faci correctament arribarà a la conclusió que, en el pla euclidià «un triangle és rectangle si i només si el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets»; el segon arribarà a una conclusió de lestil de «deixo 10 euros» que pot perfectament ésser canviada al dia següent per «deixo 7 euros» en una situació igualment satisfactòria a la del dia anterior, i no és gens fàcil poder assegurar que sigui correcte. La conclusió del teorema de Pitàgores és, nogensmenys, una «caracterització» dels triangles rectangles al pla euclidià; la conclusió arran de quina propina deixar no caracteritza aquesta decisió i, com a molt, pot oferir els criteris a tenir en compte per tal de deixar x euros. En aquest cas no hi ha res semblant al pla euclidià; el context és ben diferent i de difícil formalització. El primer raonament porta de manera reglada a una conclusió final que ja no és revisable però que és controlable pas a pas; pel que fa al segon, no està clar que existeixin regles acceptables per tothom que el puguin dirigir, porta a una conclusió que no només és revisable sinó que és de difícil control, a lextrem que gent diferent arriba, amb criteris iguals o semblants, a conclusions diferents.
El raonament de la prova matemàtica és totalment correcte o no ho és i, si és correcte no és pot revisar bo i que pugui ésser millorable, encara que sempre sarribi a la mateixa conclusió i que pugui servir per imaginar què passa en altres contexts (per exemple, intentar caracteritzar els triangles rectangles en una esfera); en canvi, en el raonament ordinari sempre és pot revisar la conclusió. En el primer cas, hom pot dir que la conclusió és definitiva i en un context donat, universal; en el segon, sempre serà provisional i local. Més informació prèvia pot retallar conclusions i molt sovint o bé no sen té massa daquesta informació, o bé no és completament fiable, o bé és incerta o imprecisa. La gent no fa raonaments purament deductius de lestil del que permet provar el teorema de Pitàgores; no ho fa més enllà dun petitíssim percentatge de cops. El que sí que fa la gent són raonaments en els quals els enllaços entre passos successius, fins i tot amb algun salt, són (només) relativament ben coneguts.
Encara més, hi ha enunciats imprecisos que, a la vida ordinària, són preferibles a enunciats precisos. És el cas, per exemple, de la regla «si la corba és a la vora i la velocitat del cotxe és moderada, aleshores premo el fre suaument», molt més eficient per a la conducció que no una ben precisa i de lestil de «si la corba és a menys de 50 metres i la velocitat del cotxe és de 60 km/h, aleshores aplico al fre una pressió de tants i tants kilograms», que obligaria el conductor a posar latenció en tres conceptes numèrics i que, per tant, seria més perillosa per a la conducció humana.
Tot això mostra prou bé la importància que té analitzar el raonament de sentit comú; la importància de defensar-lo fent-ne un estudi formal que en permeti tant la crítica com lampliació: defensarlo racionalment. No debades és la mena de raonament que la gent fa servir contínuament a la vida ordinària; aquell amb el qual no només pren les decisions diàries sinó també decisions a llarg termini com és casar-se, estudiar una carrera en lloc duna altra, etc. Aquest és el tema al qual està dedicat el text que segueix i que, de vell antuvi, cal declarar que lanomenat raonament deductiu, un concepte que molts confonen amb «raonament a seques», no és sinó un cas particular i molt restringit de raonament; un concepte que, aquí, identificarem amb la conjectura. És més, el raonament deductiu formal exigeix ésser realitzat a través de representacions especials en uns marcs que només faciliten les matemàtiques; és el tipus de raonament de la «prova» matemàtica.