Я тут не говорю о тех редких случаях, когда вы кидаете монетку и она приземляется на ребро, или когда ее уносит чайка, пролетавшая мимо, или когда у вас в фальшивой колоде сплошь трефы.
Схожим образом мы можем действовать в случае с вероятностью наступления сразу трех событий: получить орла при подбрасывании монетки, вытянуть карту червей из колоды или встретить случайного человека, у которого день рождения в один день с вами (вероятность последнего равна примерно 1/365,24 хотя дни рождения не вполне равномерно распределены и некоторые даты рождения встречаются чаще, чем другие, это разумная цифра).
Вы, возможно, знаете такие сайты, где задают вопросы, на которые предполагается несколько ответов, например: «На какой из этих пяти улиц вы когда-то жили?» или «Кредитная карта какого из пяти представленных типов есть у вас?» Такие сайты пытаются установить вашу личность, чтобы убедиться, что вы тот, за кого они вас принимают. В таком случае применяется правило умножения. Вероятность того, что вы случайно ответите правильно на один вопрос, равна 0,2, а вероятность того, что вы угадаете ответ на шесть вопросов подряд, равна 0,2 × 0,2 × 0,2 × 0,2 × 0,2 × 0,2, или 0,000 064. А это шесть шансов из 100 тысяч. Не так же точно, как результаты экспертизы ДНК в суде, но тоже неплохо. (А знаете, почему они не дают вопросы с выбором ответа из предложенных, а не предлагают вписывать краткий ответ? Потому что существует слишком много вариантов правильных ответов{23}).
Когда вероятность одних событий определяется другими событиями
Правило умножения можно применять только к независимым событиям. А какие события не являются независимыми? Например, погода. Морозная погода сегодня вечером и морозная погода завтра не являются независимыми такие явления часто сохраняются в течение нескольких дней. Конечно, морозы могут ударить совершенно внезапно, но все же, желая сделать прогноз на завтра, просто посмотрите на погоду сегодня.
Вы могли бы подсчитать количество вечеров в году, когда температура опускается сильно ниже нуля, скажем, в вашем регионе 36 и потом сказать, что вероятность заморозков сегодня вечером будет 36/365, приблизительно 10 %, или 0,1, но при этом вы не учитываете зависимости. Если вы скажете, что вероятность того, что в течение зимы будет два морозных вечера подряд, равна 0,1 × 0,1 = 0,01 (согласно правилу умножения), то недооцените вероятность, потому что события двух вечеров подряд не независимы. На завтрашнюю погоду сильно влияет сегодняшняя.
Вы могли бы подсчитать количество вечеров в году, когда температура опускается сильно ниже нуля, скажем, в вашем регионе 36 и потом сказать, что вероятность заморозков сегодня вечером будет 36/365, приблизительно 10 %, или 0,1, но при этом вы не учитываете зависимости. Если вы скажете, что вероятность того, что в течение зимы будет два морозных вечера подряд, равна 0,1 × 0,1 = 0,01 (согласно правилу умножения), то недооцените вероятность, потому что события двух вечеров подряд не независимы. На завтрашнюю погоду сильно влияет сегодняшняя.
Вероятность того, что какое-то событие произойдет, также может оказаться под влиянием конкретного факта, который вы сейчас изучаете. На вероятность того, что вечером будет морозно, очевидно влияет регион, о котором вы говорите. И эта вероятность выше на 44-й параллели, нежели на десятой. Шанс найти кого-то выше двух метров возрастает, если искать такого человека среди баскетболистов, а не в таверне, куда часто забегают жокеи. Таким образом, подгруппа людей или вещей, которую вы изучаете в данный момент, сильно влияет на вашу оценку вероятности.
Условные вероятности
Часто статистические данные вводят нас в заблуждение, потому что мы смотрим на показатели целой группы случайных людей, вместо того чтобы смотреть на подгруппу. Какова вероятность того, что у вас пневмония? Не очень высокая. Но если нам будет известно больше о вас и конкретно о вашем случае, вероятность может быть выше или ниже. Это называется «условные вероятности».
Рассмотрим два разных типа вопросов:
1. Какова вероятность того, что у случайно выбранного для опроса человека будет пневмония?
2. Какова вероятность того, что она будет у человека, не выбранного случайным образом для опроса, но проявляющего три симптома (температура, боль в мышцах, заложенность в груди)?
Второй вопрос предполагает условную вероятность. Она носит такое название, потому что мы рассматриваем не всю популяцию, а только тех людей, для которых выполняется определенное условие. Не прибегая к цифрам, мы можем угадать, что вероятность пневмонии выше во втором случае. Конечно, мы можем поставить вопрос таким образом, чтобы вероятность пневмонии была ниже у человека, которого выбрали не случайно:
Какова вероятность того, что мы найдем пневмонию у случайно выбранного человека, чьи анализы три раза подряд не подтвердили заболевание, у которого особенно крепкая иммунная система и который минуту назад финишировал первым в Нью-Йоркском марафоне?
Тот же принцип будет и в следующем случае: вероятность того, что вы заработаете рак легких, не может не быть связана с историей вашей семьи. Вероятность того, что официант принесет вам кетчуп, не может не быть связана с вашим заказом. Можно подсчитать вероятность того, что любой случайно выбранный человек в ближайшие десять лет заболеет раком легких или что официант принесет кетчуп клиентам за определенным столиком, приняв в расчет остальные заказы. Но нам повезло, и мы знаем о том, как эти события связаны с другими. Это позволяет нам сузить рассматриваемую совокупность и получить более точную оценку. Например, если у обоих ваших родителей был рак легких, вы, возможно, захотите подсчитать вероятность заболеть тем же; тогда просто посмотрите на других людей в избранной группе тех, у чьих родителей был рак. Если у ваших родителей его не было, вы захотите посмотреть на релевантную группу людей, у которых в анамнезе нет таких историй (и у вас, вероятно, получатся совсем иные результаты). Если вы хотите узнать вероятность, принесет ли официант вам кетчуп, вы можете посмотреть на столики, за которыми люди заказали гамбургеры и картошку фри, а не на те, за которыми люди едят тартар из тунца или яблочный пирог.
Нежелание видеть взаимосвязь событий (когда принимают предположение о независимости) может привести к серьезным юридическим последствиям. Рассмотрим дело Салли Кларк, британки из Эссекса, которая была привлечена к ответственности за убийство своего младшего ребенка[87]. Ее первый ребенок умер еще в младенчестве, и его смерть связывали с СВДС (синдромом внезапной детской смерти, или «смертью в колыбели»). Обвинители уверяли, что вероятность смерти от СВДС обоих детей в одной семье очень мала, поэтому, скорее всего, имело место убийство. Свидетель со стороны обвинения, врач-педиатр, привел в качестве доказательства результаты исследования, в котором говорилось, что детская смертность в результате СВДС возникала в одном случае из 8543. (Компетентность доктора Мидоу в области педиатрии не делает его специалистом по статистике или эпидемиологии такого рода путаница часто приводит к неверным суждениям. Об этом мы поговорим в части 3 этой книги. Эксперт в одной области не обязательно специалист в другой, даже если кажется, что эти области смежные.)
Углубившись в вопрос, мы можем усомниться и в числе 8543 количестве смертей от СВДС. Откуда оно взялось? Диагноз СВДС ставится методом исключения это значит, что ни один тест, проведенный медицинским персоналом, не может подтвердить, что смерть наступила в результате этого синдрома. Скорее бывает так что, если врачи затрудняются с диагнозом и уже исключили все другие возможные варианты, они диагностируют СВДС. Невозможность найти причину заболевания не может считаться доказательством того, что ее нет, поэтому весьма вероятно, что какие-то случаи со смертельным исходом, приписываемые СВДС, на самом деле были вызваны другими, менее мистическими причинами, например отравлением, удушением, пороком сердца и т. д.
Справедливости ради давайте предположим, что СВДС действительно причина одной из 8543 смертей в младенчестве, как свидетельствовал доктор Мидоу, бывший экспертом в этом вопросе. Позже врач-педиатр заявил, что вероятность того, что в одной семье могут произойти два одинаковых случая гибель ребенка в результате СВДС, была , или 1 из 73 миллионов. («Совпадение? Думаю, нет!» мог воскликнуть обвинитель во время своей заключительной речи.) Глядя на эти подсчеты использование правила умножения, можно предположить, что случаи смертельного исхода независимы друг от друга, но это не обязательно так. Какие бы обстоятельства ни вызвали внезапную смерть первого ребенка миссис Кларк, нельзя забывать, что дети воспитывались в одной семье. Есть два сопутствующих фактора, связанных с СВДС: пассивное курение и сон на животе. Предположим также, что первый ребенок страдал от какого-нибудь врожденного порока. Это сильно повышает вероятность того, что нечто подобное проявится в геноме второго малыша (у детей, рожденных от одних и тех же родителей, 50 % ДНК одинаковы). Рассуждая подобным образом, можно предположить, что вероятность смерти второго ребенка по какой-нибудь подобной причине равна 50 %, и вот миссис Кларк уже гораздо меньше похожа на убийцу.
В конце концов ее муж нашел в архивах больницы доказательства того, что причина смерти второго малыша носила микробиологический характер. Миссис Кларк была оправдана, но к тому моменту она уже провела в тюрьме три года, отбывая наказание за преступление, которого не совершала.
Для условных вероятностей есть специальное обозначение. Вероятность того, что официант принесет вам кетчуп, при условии, что вы только что заказали гамбургер, выглядит так:
P (кетчуп | гамбургер),
где вертикальная прямая | читается как «при условии».
Обратите внимание: благодаря подобной записи исчезает необходимость в большом количестве слов, и математическая формула получается короткой.
Вероятность того, что официант принесет вам кетчуп, при условии, что вы только что заказали гамбургер и просили принести кетчуп, записывается так:
P (кетчуп | гамбургер попросил)
где читается как и.
Визуализация условных вероятностей
Относительная заболеваемость пневмонией на территории Соединенных Штатов в год составляет около 2 % 6 миллионов человек из 324 миллионов населения страны получают этот диагноз каждый год (безусловно, сюда не входят многочисленные случаи, когда диагноз поставить не удается, а также такие ситуации, когда человек в течение года болеет пневмонией не один раз, но мы пока не об этом)[88]. Получается, что вероятность того, что случайно выбранный для опроса человек болен пневмонией, равна приблизительно 2 %. Но мы получим более точную оценку, если будем знать хоть что-то об этом конкретном человеке. Если вы пойдете к доктору и скажете, что у вас температура, кашель и заложена грудь, то уже не будете отобраны для опроса случайно ведь вы пришли к доктору за помощью и жалуетесь на эти симптомы. Вы можете постепенно уточнить свою уверенность в чем-либо (например, что у вас пневмония), получая все новые и новые свидетельства. Мы используем правило Байеса для вычисления условной вероятности: какова вероятность того, что у меня пневмония, при условии наличия у меня симптома x?[89] И чем большим количеством информации вы будете обладать, тем вернее будут уточнения такого рода. Какова вероятность того, что у меня пневмония, при условии, что: 1) у меня все эти симптомы; 2) в семейном анамнезе это не первый случай; 3) я только что провел три дня рядом с человеком, больным пневмонией? Вероятность увеличивается и увеличивается.