Возможно возражение со стороны тех, кто продолжает считать Декарта дуалистом: мол, ничего нового в разделении мозга на три части не было.
Вспомнить хотя бы Галена с его концепцией о трёх одухотворённых пневмах. Или, вот, Бонавентура, горячий поклонник трудов Блаженного Августина: он полагал человека триединым существом, наделённым ощущающей частью, душой и умом.15
Однако эти возражения несостоятельны.
У Галена разного рода пневмы, хоть и помещены в различные органы, ничем принципиально друг от друга не отличаются. А что касается Бонавентуры, в его интерпретации речь и вправду идёт о частях. Переплетенных и, при некоторых оговорках, взаимозаменяемых.
Декарт же описывал «действие воли» как самодостаточную категорию мозга. Третье, саморефлексирующее, измерение.
Которое не сводится ни к автоматическим движениям тела (когда мы, например, касаясь огня, одёргиваем руку), ни к мыслям-чувствам (идентифицируем «огонь-жар», глядя на него и/или ощущая его непосредственно).
Новизна Декартова рассуждения в том, что созерцание собственного мышления есть нечто независимое в человеческом мозге. У него свои законы, свои правила. И, между прочим, собственный локус. Орган, где телесно-механическое и душевно-мыслящее сходятся шишковидная железа (эпифиз).11,37
Это то, что отличает нас от прочих живых существ. Ибо жить без самосознания можно, но, сознавая себя, нельзя не быть человеком. Поэтому: «Я мыслю, значит, я [как человек Р.Б.] существую».
Как Декарт сумел додуматься до третьего измерения мозга? Почему он, а не, скажем, Андреас Везалий блестящий врач, живший на сто лет раньше и своими анатомическими исследованиями во многом исправивший ошибки Галена?
Догадка Рене Декарта не чудо и не случайность. Это закономерный результат его профессиональной деятельности. До конца жизни он оставался превосходным математиком.
Мнимые числа
Прежде чем совершить прорыв в теории мозга, Декарт совершил революцию в математике. Суть переворота заключалась в переосмыслении понятия «число».
По мнению сэра Майкла Атья, в истории математики такие учёные, как Ньютон и Лейбниц, знаменуют переход от алгебры к математическому анализу.29
Не углубляясь в предпосылки данного перехода, заметим, что существенной его чертой было появление дифференциального исчисления и термина «функция».
Думаю, сейчас все знают, что функция есть отношение двух величин (необязательно выраженных числом существуют, например, векторные функции). Однако, чтобы прийти к современному пониманию числа и функции, человечество преодолело немалый путь.
Со школы каждому знакома двухмерная система координат (ось абсцисс x и ось ординат y с их числовой разметкой), в которой исследуются различные функции (всякие эллипсы, параболы, гиперболы и пр.).
Мало кто задумывался (я в школьные годы точно нет), что графическое изображение функции есть удивительный пример человеческой фантазии, соединившей, казалось бы, мало сопоставимые вещи: геометрию и алгебру.
В данном случае фантазия принадлежала Рене Декарту. Его трактат «Геометрия», увидевший свет в 1637 году (за семь лет до «Первоначал философии»), продемонстрировал новый универсальный подход к решению математических задач.
Мало кто задумывался (я в школьные годы точно нет), что графическое изображение функции есть удивительный пример человеческой фантазии, соединившей, казалось бы, мало сопоставимые вещи: геометрию и алгебру.
В данном случае фантазия принадлежала Рене Декарту. Его трактат «Геометрия», увидевший свет в 1637 году (за семь лет до «Первоначал философии»), продемонстрировал новый универсальный подход к решению математических задач.
А именно: любые объекты и их соотношения можно выразить через алгебраические уравнения. Декарт строил двухмерную систему координат (теперь говорят «декартовы координаты»), изображал два пересекающихся объекта (например, окружность и параболу), выражал каждый объект через уравнение, объединял получившиеся уравнения в систему и решал её. Полученные корни являлись координатами (по оси абсцисс) точек пересечения объектов.9
Для того чтобы понять, как Декарт от математики шагнул к оригинальной идее об устройстве мозга, предпримем попытку воспроизвести его логику.
В целях упрощения изложения рассмотрим в плоскости декартовых координат объекты: параболу (x2 = y) и несколько, пересекающих её, прямых (y = ¼; y = 1; y = 2; y = 3; y = 4).
Указанные объекты пересекаются в некоторых точках (геометрическая характеристика), имеющих соответствующие координаты и, в частности, определенные числовые значения на оси абсцисс (алгебраическая характеристика).
Среди этих значений есть, как отрицательные, так и положительные, числа: целые (2; 1; 1; 2), в виде обыкновенной дроби (½; ½) и т.н. «иррациональные» (3; 2;2;3) (см. рис. 7).
Иррациональные числа были известны задолго до Декарта (скажем, число π).
Надо сказать, что большинству математиков они не нравились (при попытке их уточнения попробуйте, например, извлечь квадратный корень из 2 или из 3 выползает «некрасивая» десятичная дробь с длинным-предлинным бесконечным хвостом). Некоторые даже не считали их числами.
Рене Декарт покончил с этой своеобразной дискриминацией, расширив теоретическое представление о числе. В «Геометрии» он фактически объявил то, что спустя несколько десятилетий сформулировал Ньютон: число отношение одной величины к другой.
В результате этого отношения могут получаться целые, дробные, иррациональные и даже отрицательные значения.
Важно не это, а то, что за каждым числом стоит некий смысл (скажем, π является постоянным значением отношения длины окружности к её диаметру; или, например, в медицине бессмысленно подсчитывать количество больных на данной территории, но полезно выяснить отношение больные/здоровые, больные/всё население и т.д.).
Только за одно это толкование понятия «число» мы, благодарные потомки, наставили бы Рене Декарту памятников. Но математику этого было мало: он стал рассуждать дальше.
Декарт задумался: насколько вообще допустимо совмещать геометрию и алгебру это и вправду важно на практике или просто отвлечённая игра ума? получающиеся в координатной сетке точки пересечения объектов, как и сами объекты, реальны? или они, поскольку заданы абстрактными комбинациями цифр, суть умозрительные конструкции, часть из которых хоть и имеют какой-то смысл, но большинство, как почти все иррациональные числа, бесконечно непостижимы?
Поясним суть проблемы на нашем примере.
Возьмём параболу, заданную функцией x2 = y, и пересекающуюся с ней прямую, заданную функцией y = 1. По методу Декарта, составим систему уравнений и найдём корни: x1 = 1, x2 = 1. Получим координаты двух точек пересечения для данных объектов: (1; 1), (1; 1).
Аналогичные операции проделаем для каждой другой пары параболы и прямой получим соответствующие значения координат.
Заметим, что значения всех функций в точках пересечения объектов будут всегда положительными. Т.е. y строго положительное число.
Обобщая, можно сказать, что совокупность уравнений, отражающих функции, есть правила, по которым строятся реальные (в том смысле, что допустимо создать их в физической реальности: в самом простом случае нарисовать на бумаге) геометрические объекты. А совокупность числовых координат локусов пересечения объектов есть точки тоже реальные (их можно вычислить по правилу) корни уравнений (см. рис. 8).
Пока вроде бы ничего сложного: всё яснее ясного.
Но Декарт решил усложнить себе жизнь и перевернуть параболу «вверх ногами» рассмотреть зеркальное отображение объекта, заданного функцией x2 = y.
Или, иначе говоря, математик исследовал, в контексте приведённого выше обобщения, функцию x2 = ƒ, где ƒ это строго отрицательное число.
Вероятно, идея пришла к нему из оптики, которой учёный активно занимался. А, может, его осенило, когда он смотрелся в зеркало: ведь «мнимое изображение», несмотря на всю условность своего существования, чем-то да является.
Как бы там ни было, перевёрнутая «вверх ногами» парабола очень странный объект. Реальна ли описывающая его функция?
По методу Декарта, составим системы уравнений для параболы, заданной функцией x2 = ƒ, и двух пересекающихся с ней прямых, например, y = 1 и y = 3. Попытаемся найти корни.
Не выходит. Потому что получаются уравнения: x2 = 1; x2 = 3. И, значит, x = 1; x = 3.
Квадратный корень из отрицательного числа это что?
Это мнимые числа.
Такие числа ранее математики уже вычисляли, решая некоторые сложные уравнения. Им не придавали особого значения, поскольку наряду с подобными, казавшимися абсурдными, результатами получались и «нормальные» корни.
Декарт тоже их игнорировал, однако, во-первых, взявшись написать о числах всё, что знал, включил их в общую классификацию (термин «мнимые числа» принадлежит ему), а, во-вторых, в его программе создания общего метода решения математических задач их надо было как-то объяснить.
Ведь, несмотря на алгебраическое затруднение, геометрические объекты x2 = ƒ, y = 1, y = 3 существуют. В системе координат их можно построить и легко найти координаты точек пересечения. По две точки для каждой пары соответственно: (1; 1) и (1; 1); (3; 3) и (3; 3).
Значит, геометрические объекты реальны.
Но, поскольку функция-правило, согласно которой строится один из объектов, скажем так, не совсем реальна (функция типа x2 = y), координаты общих для этих объектов чисел-точек содержат «мнимые числа».
Т.е. данные точки нереальны (см. рис. 9).
Полагаю, будучи подлинным учёным, Декарт таким результатом нисколько не смутился. Что получилось, то получилось.
Свойство «мнимости» не помешало распространить логику соотношения величин и на эти, несподручные, числа.
Число, согласно Декарту, есть точка пересечения/соприкосновения двух объектов, причём математическое выражение общего локуса может быть, как минимум, двояким: реальным и мнимым.
Более того: используя мнимые числа-точки можно построить мнимый объект. Такой, как перевёрнутая парабола. Или, если брать примеры из современной жизни, «цифровой двойник».
Этот объект обладает многими свойствами реальности, но привычными мыслями-чувствами его не ухватишь и не ощутишь. Как отражение в зеркале.
Много позже, на рубеже XVIII XIX вв. математики (Каспар Вессель, Жан-Робер Арган, Джон Уоррен и др. основываясь, в свою очередь, на работах Леонарда Эйлера и Карла Фридриха Гаусса) додумались изображать соединение реального и мнимого. Оформилось понятие «комплексное число».