Мы желаем посчитать именно эти камни!
Ну что же, начнём: один, два, три, четыре…
Вот так просто начали их считать! С края, что был к нам ближе, последовательно от камня к камню. Через некоторое время, когда язык начинает заплетаться в трёхуровневом слове «сто восемьдесят семь», когда проговаривание слова 187 по времени дольше, чем тыканье пальцем в каждый следующий камень, понимаем, что так долго продолжаться не может.
Мы не посчитали и малой доли камней, а язык уже устал, процесс счёта стал для нас утомительным. Значит, надо что-то менять.
Проанализировав, приходим к выводу: поскольку счёт до ста происходит у нас автоматически и непринуждённо, то отныне будем считать сотнями. Дойдя до ста, будем откладывать один камень в сторонку, и продолжать счёт сначала. Когда посчитаем все камни, то в отдельной кучке у нас будут сотни, которые аналогично подвергнем счету в конце.
А вдруг этих сотен будет очень много, как в примере с предыдущим нашим подсчётом? Если сотен будет 187, 188, 189 и т. д.? Получается, нам опять придётся откладывать камень в отдельную кучку, что означает «сотни сотен».
А если и этих камней будет ещё больше? Вряд ли, конечно, но чисто гипотетически: сотня сотен, сотня сотенных сотен и т. д. Вот это да!
Сотня сотенных сотен – это, вообще-то, уже миллион. Откуда мы это знаем? Потому что умножили 100*100*100, но нам такое количество не грозит, ведь камней гораздо меньше. Мы считаем камни сотнями, всякий раз откладывая в сторонку один камушек.
За этим нехитрым занятием не заметили, как на небе появились тучи, закапал мелкий дождик. Нам казалось, что ничего не располагало к ненастью, но прохладный ветерок и грозовые тучи намекают на то, что скоро погода ухудшится, и мы промокнем.
Если бы знали, что будет непогода, мы не начинали процедуру подсчёта.
А что делать теперь? Оставить на берегу всё, как есть, и посчитать камни после дождя? Но мы потратили столько времени и посчитали большую часть! Может, тогда пометить место, где остановили подсчёт, каким-нибудь предметом, например, воткнуть ветку?
Обо всём этом размышляем и продолжаем считать автоматически, ведь счёт до ста не создаёт нам никаких проблем для размышления. Считаем и думаем над тем, что нам делать дальше, когда начнётся дождь. И тут…
Только не это!
Мы не помним: отложили камень при подсчёте последней сотни или нет? Мы были так увлечены размышлением, что совсем не сосредоточили внимание на сотнях. Что же нам теперь делать? Производить счёт сначала?
Уткнув в камень палец, стоим и соображаем, как лучше поступить. Да, так и поступим: воткнём ветку в рядом стоящий камень и, когда закончится дождь, продолжим подсчёт.
А что нам делать с той сотней, которую посчитали или нет? Нам хочется точно знать количество камней, а сотня – величина приличная. А может, сотня – это не так много?
Посчитаем, сколько у нас получилось сотен, ведь считать их гораздо легче. Сотен оказалось ровно 37, значит, нами посчитано 3700 камней. Да, чуть не забыли: камней может быть 3800, если не учли одну сотню.
Мы забегаем в палатку, прячемся от нарастающего дождя, вспоминая по дороге, что, когда закончим счёт, нам предстоит посчитать и сотни, как отдельные камни. Потому что для подсчёта брали камни из общей кучи, а они должны быть посчитаны.
Дождь нарастает, порывы ветра клонят макушки деревьев. Небо заволакивает чёрными тучами, капли всё отчётливее бьют в брезентовую палатку, оставляют на песке заметные следы. Дождь сильный, но его хватает ненадолго. На горизонте уже проблескивает солнечный свет. Оказалось, что какая-то туча, затерянная на небосводе, случайно попала к нам. Вот капли совсем поредели, солнце выглянуло, а туча поплыла за горизонт.
Мы вылезаем из палатки и направляемся к нашему предмету размышления и счёта. И что же видим? Та ветка, что была воткнута вертикально, упала. Теперь только приблизительно можно указать место, где она была, да и камни, так старательно уложенные, немного изменили своё положение.
Одни камни углубились, другие сместились в сторону. Форма, первоначально созданная нами, стала другой. Нам не остаётся ничего другого, как продолжить счёт камней. Становится сложнее. Раньше они соответствовали шахматному порядку, теперь ряды неровные, колонки кривые. Поправляем камни, которые не посчитали, двигаем в сторону те, что посчитаны.
Конечно, мы могли заново всё пересчитать, но скоро станет смеркаться, и не хочется оставлять на завтра то, что можно сделать сегодня. Ноги начинают уставать, побаливает спина.
Считаем, считаем, считаем…
Вот и последние камни, которые закончились на числе 86. Мы с облегчением встаём с корточек, расправляем плечи, потягиваемся от кропотливой работы. Всё, посчитали! И тут же понимаем: 86 – это совершенно не та величина. Считаем сотни. Их 105, а это 10.500 камней. Если прибавить к этому 86, то получается 10.586. К этому надо приплюсовать 105 камней, которые были в качестве сотен. Получаем итог: 105*100+86+105 = 10.691 камень.
Нами был совершён просто титанический труд! Найти столько камней на берегу, уложить в некоторый порядок и посчитать их количество под силу не каждому!
Разве могли мы получить что-то другое, если есть результат – 10.691 камень? Камней не может быть больше или меньше. Правда, когда считали, один камень был треснут и раскололся на две половинки. Мы слукавили, посчитав его за два камня. В действительности подобрали на берегу один камень, а посчитали как два. С результатом тоже были не до конца последовательны: так и не поняли, учли одну сотню камней или пропустили. Получается, камней может быть либо 10.691, либо 10.791. Если убрать расколотый камень, то от 10.690 до 10.790. А как быть с упавшей веткой? Из-за неё могли ошибиться в несколько камней: от 2 до 5. Это наши предположения. Что мы имеем в итоге?
На вопрос: «Сколько мы собрали камней?», – нам трудно ответить. От 10.685 до 10.790 штук, а то и больше: 10.796.
«Сколько собрано камней?» и «Сколько посчитано камней?» – разные величины. Один камень раскололся при подсчёте. Формально, камней – два, но подобрали один, из-за чего получается неопределённость. И что нам делать?
Стремясь к точности, попали в затруднительную ситуацию. Мы можем посчитать камни заново, ведь у нас есть опыт. Со второго раза получим точный результат.
Начинает темнеть. Если и придётся считать, то завтра. Сейчас пора спать.
Утро ничего хорошего не приносит. Вчерашняя туча появлялась не зря: она была началом непогоды. Ночью шёл проливной дождь, часть камней смыло в море, некоторые оказались под песком. Повторить подвиг по сбору камней нам не суждено, мы и так со вчерашнего дня сильно устали.
Главную задачу мы не выполнили: никогда не сможем узнать точного количества камней, которые собрали на берегу. Это примерный промежуток от 10.685 до 10.796.
Математика
Сырость, прохлада и уныние вводит нас в задумчивость: нам ничего не остается делать.
Иногда размышление эффективнее, чем сбор камней, которые, в итоге, нельзя посчитать.
Мы присели на обугленный пенёк и задумались: почему всё получилось именно так? Зачем мы стали собирать камни? Ответ не ясен.
Как проще считать камни: когда они в одной куче или когда разложены на площадке? Чем хороша куча, что кидаешь в неё и всё. Не требуется лишних движений на выравнивание рядов, на выкладывание камней один к другому.
Сравним методы: что проще считать – кучу или выложенную площадку. Кидать в кучу легче – 1:0.
Если считаем кучу, то там приходится брать и перекладывать каждый камень – 1:1.
Точность расчёта из кучи в кучу: здесь труднее ошибиться, потому что есть разделение, – 2:1.
Кучу труднее отследить в пропорции: примерно половина, треть, четверть – 2:2.
Самое главное, на что обращаем внимание: выложенная на песке форма, обладает структурой. Она представлена плоскостью, камень к камню в шахматном порядке.
Для одинаковых камней, процесс подсчёта сводится к перемножению сторон. Если они разные – сложнее.
Когда считаем камни, есть разница, к примеру, между 21-ым камнем и 22-ым? А в математике между числами 21 и 22?
Числа 21 и 22 обладают некоторым количеством свойств: между ними «расстояние» в единицу; 21 – нечётное число, 22 – чётное число; 21 делится на 7 и 3, а 22 делится на 11 и 2.
А что у камней?
И у них много свойств. Одним из них является количество. Один камень, как единица. Это свойство мы и хотели использовать. То, что один камень больше другого – это уже другое свойство.
Есть другая сторона проблемы. Когда камень раскололся, то стало два отдельных камня. Если это был камень 21, то его части могли быть под номерами 21 и 22, хотя нашли камень один. В математике такого не может быть.
Число 21 нельзя расколоть на две части. Если использовать число 10,5, то это уже совершенно другое число, с другими свойствами. При подсчёте 21 является натуральным числом, а 10.5 таковым не является. То же получится, если для расчёта мы будем использовать вес, размер или иной способ идентификации камней.
Кто-нибудь пробовал разложить миллион камней на берегу? Нас не интересует ответ: «да» или «нет». Нас интересует следующее: если выкладывать квадрат со стороной 1000, получим ли мы ровно миллион камней?
Наивно думать, что их будет другое количество, но ведь никто не считал же? Мы понимаем, что можем безошибочно проверить это на калькуляторе за несколько секунд.
«А в чём, собственно, вопрос?», – спросите вы меня. А вопрос вот в чём.
Когда спрашивают: «Сколько будет 2+2?», – получаем ответ: 4. Для доказательства достаём из кармана 2 монеты и добавляем ещё 2 монеты. В итоге получается 4. А если 10 плюс 10?
Тогда монет может не хватить. Достаём спички (какая древность!), отсчитываем 10, добавляем еще 10 и пересчитываем результат: получается ровно 20.
А если тысяча плюс тысяча? Вашему терпению наступает предел. Сказано же, что в итоге будет 2 тысячи. Нас интересует не ответ на вопрос «сколько будет»: нас интересует доказательство. Никто не будет аргументировать результат сложения 1000+1000 подсчётом монет или спичек.
А почему, спрашиваем мы? Ответа – два.
Во-первых, тысячу элементов прибавлять к тысяче труднее. Хотя, найдутся желающие. А миллион плюс миллион? Искать миллион спичек и прибавлять к миллиону спичек? Нам не хватит места для пустых коробков.
Во-вторых, и это главное, на примере 1+1, 2+2 1+2 и т. д., а так же на примере сравнения с результатами монет, мы удостоверились в повторяемости этого свойства.
Если 1+1=2, то 10+10=20. Это ещё одно свойство. Если складываются два чётных числа, то их сумма – тоже чётное число. Если складывать два любых числа, то обязательно получится результат.
В таком случае, какая разница, какие числа складывать: 1+1 или 19.576.739+4.675.822?
Во-первых, результат всегда определён.
Во-вторых, это почти одно и то же. Эти числа мало чем отличаются.
«Как же так? – спросите вы. – Нет никаких отличий между суммой двух единиц и 19.576.739+4.675.822?»
В том-то и дело, если бы сравнивали один камень и кучу из 19.576.739 камней, то, поверьте на слово, эту разницу в количестве камней можно было бы различить, даже далеко от земли.
А каких трудов и усилий нам это доставило: собирать камни по всей округе, выкладывать из них кучу умопомрачительных размеров. Пришлось бы задействовать труд многих людей, техники, и всё ради того, чтобы набрать это количество. Мы смогли бы значительно раньше убедиться, что между одним камнем и 19.576.739 камнями большое отличие.
Что такое 1 и 19.675.739 как математические числа? Укладывая камни в кучу, мы располагаем их в пространстве, тратим на это время.
Число 19.675.739 находится вне пространства и времени. Это число обладает свойством: находится на расстоянии 19.675.739 «шагов» от числа 1