В алмазе каждый атом углерода соединен с четырьмя другими атомами в трехмерную сеть. В графите же каждый атом углерода связан только с тремя другими атомами в пределах двумерного листа. Эти углеродные слои как бы сложены в стопку один к другому, подобно листам бумаги.
Алмазная сеть крайне прочна, ее трудно разрушить. Напротив, листы углерода легко соскальзывают друг с друга, опять же как листы бумаги. Это и есть основная причина того, почему алмаз настолько тверже графита. И это различие самым непосредственным образом отражается на их практическом использовании. Алмаз, будучи одним из самых твердых известных материалов, используется в буровых головках. Графит же настолько мягок, что его используют в карандашах. Листы углерода отслаиваются при перемещении кончика карандаша по странице.
Этот пример демонстрирует, как знание о симметрии расположения атомов того или иного вещества позволяет понимать и предсказывать его свойства и находить для него наиболее эффективные способы применения. То же относится и к материалам, полученным при быстром охлаждении, которые ученые называют стеклянными, или аморфными. Они существенно отличаются от медленно охлажденных кристаллов по своим электрическим, тепловым, упругим и вибрационным свойствам. Медленно охлажденный кристаллический кремний, например, широко используется в электронной промышленности. А аморфный кремний, не такой твердый, как медленно охлажденный, предпочтителен для использования в некоторых типах солнечных батарей.
Вопрос, который мы с Нельсоном и Рончетти хотели исследовать, состоял в том, имеют ли некоторые твердые материалы, полученные быстрым охлаждением, определенную упорядоченность, которой прежде никто не замечал и которая могла бы дать дополнительные преимущества в прикладных задачах.
К тому моменту я уже несколько лет занимался разработкой способов моделирования быстрого охлаждения жидкостей. Меня приглашали на лето сначала как аспиранта, а затем как постдока работать над теоретическими компьютерными моделями в Йельском университете и в Исследовательском центре IBM имени Томаса Дж. Уотсона. Мои основные научные интересы в то время лежали в другой области. Однако я пользовался этими исследовательскими возможностями, поскольку был заинтригован тем фактом, что науке все еще было неизвестно расположение атомов в такой примитивной среде, как аморфное вещество. Тут я вполне сознательно следовал одному из самых важных уроков, полученных от моего наставника Ричарда Фейнмана: доверяй своему чутью и ищи достойные задачи, куда бы они тебя ни вели, даже если новое направление не будет совпадать с тем, в котором ты прежде предполагал двигаться.
Летом 1973-го, перед моим завершающим годом учебы в Калтехе, я разработал первую модель стекла и аморфного кремния для генерируемой компьютером непрерывной случайной сети (НСС-модель). Эта модель широко использовалась для предсказания структурных и электронных свойств этих веществ. В последующие годы работы с Рончетти я разработал и более сложные программы для моделирования процесса быстрого остывания и затвердевания.
В 1980 году случайный разговор в Гарварде с Дэвидом Нельсоном дал новую цель всем моим трудам по теме аморфных материалов. Мои компьютерные модели можно было адаптировать для проверки гипотезы Нельсона и Тонера о кубатическом веществе.
Дав своей аудитории в Пенне краткое введение в историю вопроса, я перешел к кульминации своей лекции. Если предположение о кубатической фазе верно, то атомные связи в моей новой компьютерной модели не должны оказаться расположенными случайным образом. В среднем они должны тяготеть к кубической ориентации, то есть стремиться к выравниванию вдоль ребер куба.
Мы разработали сложный математический тест для эксперимента, призванного проверить, демонстрирует ли усредненная ориентация связей ожидаемую кубическую симметрию, и вывели количественный параметр, характеризующий, насколько сильно проявляется это кубическое выравнивание.
Результат оказался абсолютно провальным. Мы не нашли никаких признаков преимущественного выравнивания связей вдоль ребер куба, предсказанного Нельсоном и Тонером.
Однако совершенно случайно мы открыли нечто даже более интересное. Разрабатывая количественный математический тест для проверки ориентации атомных связей в соответствии с кубической симметрией, мы поняли, что будет несложно адаптировать этот тест к поиску любых других возможных вращательных симметрий. Поэтому вдобавок мы использовали тест для количественной оценки каждой симметрии по степени выравнивания атомных связей вдоль различных направлений.
К нашему огромному удивлению, именно запрещенная симметрия получила гораздо более высокую оценку, чем все остальные, та самая невозможная симметрия икосаэдра, фигуры, изображенной ниже слева.
Я знал, что некоторые слушатели в аудитории уже должны быть знакомы с икосаэдром, поскольку эта трехмерная фигура использовалась в качестве игральной кости (см. фото внизу справа) в популярной игре Dungeons & Dragons (Подземелья и драконы). Другие могли знать про него из курса биологии, поскольку такой формой обладают некоторые вирусы человека. А слушатели, имевшие склонность к геометрии, должны были распознать в нем одно из пяти платоновых тел трехмерных фигур с одинаковыми гранями, ребрами одинаковой длины и одинаковыми углами.
Важная особенность икосаэдра состоит в том, что, осматривая его со стороны любой из вершин, мы наблюдаем пятиугольную форму с симметрией пятого порядка. Ту самую симметрию пятого порядка, запрещенную для двумерных замощений и трехмерных кристаллов.
Разумеется, нет ничего невозможного в использовании одной плитки в форме правильного пятиугольника. Одиночную плитку можно взять любой формы. Однако невозможно покрыть пол одними лишь правильными пятиугольниками, не оставляя зазоров. То же относится и к икосаэдру. Можно сделать отдельную трехмерную игральную кость в форме икосаэдра. Но вот заполнить пространство икосаэдрами так, чтобы между ними не осталось пустот и отверстий, уже не получится, как показано на фото выше.
При таком числе вершин, каждая из которых обладает запрещенной симметрией пятого порядка, икосаэдр был прекрасно известен исследователям, изучавшим строение вещества, в качестве самой запретной симметрии в расположении атомов. Этот факт считался настолько фундаментальным, что часто излагался в первой главе учебников. И все же икосаэдрическая симметрия каким-то образом получила самую высокую оценку по выравниванию атомных связей в нашем компьютерном эксперименте.
Строго говоря, наши результаты прямо не противоречили законам кристаллографии. Эти правила применимы только к макроскопическим фрагментам вещества, содержащим десятки тысяч атомов и более. Для намного меньших групп атомов, как те, что изучались в нашей модели, такого категорического запрета не существовало.
В предельном случае маленького кластера, содержащего, например, лишь тринадцать одинаковых атомов золота, межатомные силы естественным образом приводят атомы к икосаэдрическому расположению. Один атом оказывается в центре, а двенадцать окружающих его атомов размещаются на вершинах икосаэдра. Так происходит потому, что межатомные силы работают сродни пружинам и стремятся расположить атомы в форме плотно упакованной симметричной фигуры. Тринадцать атомов образуют икосаэдр потому, что в данном случае он является самой симметричной из всех достижимых плотно упакованных конфигураций. Однако с добавлением все новых и новых атомов икосаэдрическая симметрия становится все менее предпочтительной. Как видно на фото с игральными костями для Dungeons & Dragons, икосаэдры не могут плотно прилегать друг к другу грань к грани, ребро к ребру или каким-либо иным образом, не оставляя больших зазоров.
Самым удивительным в наших расчетах было то, что икосаэдрическая симметрия в ориентации связей сохранялась почти по всей модели, включавшей тысячи атомов. Если бы в то время вы провели опрос, большинство экспертов сказало бы, что икосаэдрическая симметрия не может распространяться более чем на полсотни атомов. Однако наша модель показывала, что значительная степень икосаэдрической симметрии в ориентации связей сохраняется даже при усреднении показателей по значительному числу атомов. Законы кристаллографии, однако, утверждают, что икосаэдрическая симметрия не может продолжаться бесконечно. И естественно, когда мы продолжили усреднение, добавляя в модель все больше и больше атомов, коэффициент этой симметрии начал постепенно снижаться и в конце концов достиг уровня, не имеющего статистической значимости. Но даже если так, открытие высокой степени ориентированности связей вдоль ребер икосаэдра для групп из тысяч атомов было поистине знаменательным.
Я напомнил аудитории, что икосаэдрический порядок спонтанно появлялся в симуляции, содержащей только один тип атомов. Большинство же материалов содержит комбинации различных элементов, с атомами разных размеров и разными силами связей. Я предположил, что увеличение числа различных элементов может облегчить нарушение известных законов кристаллографии, позволяя икосаэдрической симметрии сохраняться в модели при все большем числе атомов.
Не исключено, что существуют даже такие гипотетические условия, при которых эта симметрия будет продолжаться неограниченно, допустил я. Это стало бы настоящей революцией, прямым нарушением законов Гаюи и Браве, установленных более столетия назад. В тот раз я впервые публично высказал настолько невозможную идею и закончил свою лекцию на этой дерзкой ноте.
Мне оживленно аплодировали. Несколько профессоров задали мне уточняющие вопросы, а по завершении я получил множество замечательных комплиментов. Однако никто так и не прокомментировал мою дикую идею о нарушении законов кристаллографии. Возможно, ее приняли за чисто риторический прием.
Впрочем, в аудитории все же был один человек, который воспринял мои слова всерьез. И он оказался готов поставить на эту идею все свое будущее. На следующий день после моего доклада двадцатичетырехлетний физик-аспирант по имени Дов Левин объявился у меня в кабинете и спросил, не соглашусь ли я быть его новым научным руководителем. Дов был чрезвычайно заинтересован в работе со мной над этой безумной концепцией, которую я выдвинул в конце лекции.
Моя первая реакция была не слишком вдохновляющей. Это дурацкая затея, сказал я ему. Я бы никогда не поставил такого рода задачу перед аспирантом, предупредил я. Не уверен даже, что предложил бы ее внештатному профессору вроде меня самого. У меня имелось лишь смутное представление о том, с чего стоило начать, а шансы на успех были до смешного малы. Я все продолжал и продолжал сыпать подобными неутешительными замечаниями, но, казалось, ничего из сказанного мною его вовсе не смутило. Дов особо подчеркнул, что хотел бы заняться этой темой вне зависимости от шансов на успех.
Когда я попросил Дова подробнее рассказать о себе, он начал с того, что родился и вырос в Нью-Йорке. Это мне и так было уже очевидно по его быстрой манере речи, порывистости и специфическому чувству юмора. Дов не мог и трех фраз сказать без шутки или грубоватого замечания, всегда в сочетании с фирменной озорной ухмылкой.
Я старался не показывать, о чем на самом деле думал, слушая рассуждения Дова о том, почему мы должны заняться моей безумной идеей. Но про себя отметил, что выглядел он как человек весьма упрямый не из тех, кого легко отговорить. Как раз тот настрой, подумал я, что нужен человеку, берущемуся за крайне рискованную задачу. Хорошее чувство юмора тоже пригодится, поскольку нам наверняка предстоит столкнуться с немалыми трудностями.
Было и еще кое-что, что заставило меня пойти навстречу Дову, мечта, которая не отпускала меня с тех пор, как в возрасте тринадцати лет я прочел роман Курта Воннегута Колыбель для кошки. Эта книга о потенциальном злоупотреблении наукой была, безусловно, странным источником вдохновения для подающего надежды ученого.
В романе Воннегут вообразил новую форму замороженной воды, названную лед-девять. Вступая в контакт с обычной водой, кристаллический зародыш льда-девять заставляет все молекулы H
2
Лед-девять был, конечно, фантастической выдумкой. Однако роман привлек мое внимание к научному факту, о котором я прежде не задумывался, а именно к тому, что свойства вещества можно радикально изменить простым переупорядочиванием его атомов.
Возможно лишь возможно, думал я, есть другие формы вещества, для которых определенные варианты компоновки атомов еще не описаны учеными. И может быть, фантазировал я, они даже никогда не возникали на нашей планете.
Сам того не зная, Дов подарил мне возможность заняться моей давней научной фантазией. Я согласился взять его под свое руководство на испытательный срок. Мы оба понимали, что, если не достигнем прогресса в течение шести месяцев, ему придется искать другую тему и другого научного руководителя.
Мы начали с попытки определить наибольшее число атомов, которое можно плотно разместить, соблюдая икосаэдрическую симметрию. Для визуализации наших с Довом построений требовалось сконструировать некую осязаемую модель (см. фото справа). И тут мы столкнулись с первой проблемой. Химики конструируют такие модели, используя имеющиеся в продаже наборы из пластиковых шариков и стержней. Те прекрасно подходят для подобных задач, покуда речь идет об изучении обычных кристаллических конфигураций.
Мы же с Довом занимались чем-то совершенно иным. Нам нужны были детали, позволяющие делать связи с углами и длинами, соответствующими симметрии икосаэдра. Поскольку эта симметрия была невозможна для кристаллов, в химических наборах не было нужных деталей. Все, включая изготовителей таких конструкторов, знали, что симметрия пятого порядка запрещена. Так что нам пришлось импровизировать, и в конце концов мы стали экспериментировать с пенопластовыми шариками и каркасной проволокой. Вскоре мой кабинет стал выглядеть как безумная поделочная мастерская.
Мы начали со сборки кластера из тринадцати пенопластовых шариков в форме икосаэдра, как я описывал на своей лекции в Пенне: один шарик в центре, а остальные двенадцать в вершинах икосаэдра, как показано на следующей странице.
Затем мы попытались окружить этот первый икосаэдр еще двенадцатью такими же икосаэдрами, построив более крупную и сложную структуру икосаэдр из икосаэдров. Но это сразу же привело к новой проблеме. Икосаэдры не прилегают плотно друг к другу между ними остаются большие зазоры. Поэтому мы попытались сохранить структуру, вставляя дополнительные пенопластовые шарики и куски проволоки, чтобы заполнить все пустые пространства между отдельными икосаэдрами. Этот метод неплохо работал и позволил нам построить большой кластер с симметрией икосаэдра, содержащий более 200 атомов.
Затем мы попытались повторить наш успех, используя на сей раз тринадцать копий этого большого кластера, чтобы построить из них еще более крупный. Однако теперь и просветы получались намного больше и модель постоянно разваливалась на части.
Наш нехитрый поделочный проект, по-видимому, демонстрировал фундаментальное ограничение в создании атомных структур с икосаэдрической симметрией. Поскольку отдельные икосаэдры не прилегают плотно друг к другу, между ними с добавлением атомов появляются все более крупные просветы, которые требуется как-то заполнять. На основе этого опыта мы предположили, что икосаэдрическую симметрию невозможно распространить более чем на несколько сотен или, возможно, тысяч атомов.