Язык частот, как в приведенном примере, разграничивает две культуры. Для искусства он китайская грамота или, продолжая метафору с Розеттским камнем, язык частот (или язык волн Фурье) подобен древнеегипетским иероглифам. Теперь давайте посмотрим, как иероглифы Фурье его волны в двумерном виде могут представлять изображения.
Морщины и борозды
Что такое двумерная волна? До сих пор мы рассматривали только одномерные волны, вроде тех, которые изображают звук. Для применения идеи Фурье к визуальному миру нам необходима двумерная версия волны.
Одномерная волна это размотанная окружность. Двумерная волна это раскрученный цилиндр. Чтобы представить двумерную волну, вообразите, что секундная стрелка из нашего примера с часами выдавливает изображение перпендикулярно странице. В результате получится рифленая поверхность, похожая на вспаханное поле с бороздами. Металлический профлист (рис. 1.6), которым обшивают стены зданий, наглядный пример двумерной пространственной волны. Из гофрированных пластиковых панелей делают козырьки и навесы. Бывают даже рифленые картофельные чипсы. Волнистый слой между плоскими поверхностями гофрокартона это тоже пространственная волна. Красная черепичная крыша в средиземноморском стиле еще один пример.
Итак, гофра это двумерная пространственная волна. Посмотрев на нее с краю или в поперечном сечении, вы увидите одномерную волну. Впрочем, любое ее прямолинейное сечение это одномерная волна.
Великая идея Фурье заключается в том, что весь видимый мир можно представить только как сумму рифленых пространственных волн разных частот и амплитуд. Единственный дополнительный нюанс, связанный со вторым измерением, состоит в том, что волны могут поворачиваться в любую сторону. Борозды могут идти с севера на юг, с востока на запад, с северо-востока на юго-запад или под любым другим углом, что особенно важно для мира природы. «Материалом» пространственных волн может быть оцинкованное железо или, как мы видим на рисунке, гофрированный пластик. Инженеры используют идею Фурье для описания всех сложных паттернов, как природных, так и рукотворных, состоящих из любых материалов, встречающихся в окружающем мире.
Но для понимания пикселя нам нужно учесть точку зрения того, кто смотрит на этот мир. Мир может состоять из железа, пластмассы и картофеля, но мы видим лишь яркое разноцветное поле со светлыми и темными формами и оттенками. Волны Фурье создают мир, который мы видим, из интенсивности света, изменяющейся в поле зрения.
Рис. 1.6
Как можно представить себе такое поле? Один из очевидных способов описать мир, воспринимаемый нашими глазами, зарегистрировать интенсивность света в каждой точке поля зрения. Но учесть придется каждую точку. Поле зрения непрерывно: в нем в каждую воображаемую точку падает свет, и между ними нет промежутков. Независимо от того, насколько близко друг к другу расположены две точки, между ними обнаружится еще одна. То есть в поле зрения попадает бесконечное количество точек и, следовательно, бесконечное количество значений их освещенности.
Фурье предлагает альтернативный способ: представить видимый мир как сумму пространственных волн, сложение которых даст ту же самую картину, что и описание каждой точки. Изображенное в верхнем ряду на рисунке 1.7, например, можно описать как значение серого в каждой точке или обозначив параметры всего одной волны Фурье. Пространственная волна, соответствующая этому рисунку, имеет частоту около двух циклов на дюйм, направлена по горизонтали, ее яркость колеблется от черного до белого. Вместо огромного количества оттенков серого в каждой точке для описания картинки нам понадобятся всего несколько значений одна частота и одна максимальная амплитуда.
Кстати, в верхнем ряду на этом рисунке показана (частично) одна из волн Фурье, вид сверху. Совсем неудивительно, что это изображение полностью описывается «по Фурье» именно волной. Обратите внимание, что вы видите волновые колебания, составляющие картину в поле вашего зрения, точно так же как слышите вибрации, составляющие звук. «Материал», из которого сделаны волны на рисунке 1.7, это интенсивность света (или яркость), воспринимаемая как разные оттенки серого. Гребни волны окрашены в более светлый серый цвет, а ложбины в более темный. (Этот рисунок двумерный аналог волнистых линий, изображенных на рисунке 1.2.)
Амплитуда волны соответствует яркости изображения, так же как для звука она соответствует громкости. Частота означает количество деталей именно ее имеют в виду люди, когда говорят об изображении с высоким разрешением или о видео высокой четкости. Большая амплитуда подразумевает высокую яркость, а высокая частота подробную детализацию.
Если изображение неоднотонно, там присутствует информация еще и о цвете. В сетчатке нашего глаза есть три типа цветовых рецепторов колбочек: по одному для интенсивности красного, зеленого и синего. Если точка на экране мобильного телефона или телевизора с определенной интенсивностью излучает красный, зеленый и синий цвета, то наш мозг получает от колбочек информацию об относительной силе этих трех сигналов и складывает из них итоговый цвет. В излучаемом электронными дисплеями свете первичные цвета смешиваются иначе, чем в свете, отраженном, скажем, от написанной маслом картины или отпечатанной в типографии страницы книги. Чтобы получить желтый цвет, мы должны включить красный и зеленый компоненты и выключить синюю часть. Но чтобы получить желтый свет, отраженный от страницы, мы должны блокировать синий элемент белого света и отражать только красный и зеленый. Независимо от технологии отображения глаз воспринимает все это одинаково. Поэтому далее я почти всегда буду использовать терминологию для излучаемого, а не отраженного света.
Рис. 1.7
Итак, представьте, что черно-белая картинка в верхнем ряду на рисунке 1.7 изображает цветную волну, скажем желтую. Гребень волны изображен серым что-то между средне-серым и полностью белым, а гребень цветной волны будет желтым что-то между средне-желтым и полностью желтым. Далее представим цветную волну как три волны одной частоты, но разной амплитуды по одной для красных, зеленых и синих рецепторов сетчатки. Итак, желтая волна состоит из трех волн: первая похожа на показанную выше волну в градациях серого для красного рецептора, вторая точно такая же (и с той же амплитудой) для зеленого рецептора и третья такая же, но с нулевой амплитудой для синего рецептора. При равном количестве красного и зеленого и при отсутствии синего наш мозг видит желтую волну.
В среднем и нижнем рядах на рисунке 1.7 показаны другие двумерные волны посмотрите, как они выглядят. Как и у одномерных волн на рисунке 1.2, у них разные частоты и разные амплитуды. Волна в нижнем ряду с самой высокой частотой имеет самую низкую амплитуду (серый цвет), а волна в верхнем ряду с самой низкой частотой имеет самую высокую амплитуду (почти белый цвет). Впрочем, это лишь пример. Волна может иметь любую частоту при любой амплитуде.
Итак, можем сделать вывод: мелким деталям на картинке при ее описании по Фурье соответствуют высокочастотные волны. Именно они изменяются достаточно быстро. В жаргоне специалистов по компьютерной графике есть выражение «В этой сцене много высоких частот», означающее, что в ней много мелких деталей и резких стыков.
Последнее замечание о стыках касается существенного факта, который стоит знать. Его непросто понять, но он напрямую вытекает из математики Фурье: внезапный переход на резком стыке требует высоких частот; очень внезапные изменения требуют очень высоких частот.
Вот как я формулирую изюминку теории Фурье:
Любое визуальное поле назовем его картинкой или узором представляет собой сумму исключительно изящных синусоидальных волн, подобных тем, что получаются при развертывании идеальных цилиндров.
Визуальный мир в виде волн не более загадочен, чем мир звука, или, скажем так, столь же чудесно загадочен. Геттисбергскую речь можно описать как интенсивность звукового давления в каждый момент выступления Авраама Линкольна или как сумму звуковых волн различных частот и амплитуд, получив при сложении то же самое. Фурье научил нас, что оба описания эквивалентны.
Ученые и инженеры любят предложенный Фурье подход, потому что, используя его, они могут решать проблемы, с которыми сложно справиться при пошаговом описании.
Вместо того чтобы учитывать тысячи и тысячи световых точек, мы основываемся на частотах и амплитудах волн интенсивности света, которые складываются в точки. Изменившее мир учение Фурье заключает, что эти два описания эквивалентны. Визуальное поле из точек, если продолжить аналогию с Розеттским камнем, это древнегреческий язык, а эквивалентные ему волны Фурье иероглифы. Компьютерщику легче читать иероглифы, чем древнегреческий, но, согласно идее Фурье, это одно и то же Розеттский камень тому подтверждение.
Критики Фурье не верили в его правоту, но математическое доказательство сомнений не оставило. Это и есть магия идеи и сокрушительная сила математики. Сложение волн разных частот даст нам картину чего угодно! Моего цветочного сада, страницы, которую вы сейчас читаете, или фотографии вашего ребенка. В этом и заключается великая и очень важная идея Фурье.
Жажда тепла
Благодаря Бонапарту Фурье удалось пережить Террор и даже войти в правящую элиту Франции если, конечно, считать элитой губернатора отдаленной провинции. Увлечение революцией в молодости и личное знакомство с императором могли доставить немало проблем, когда король дважды возвращался во власть. Тем не менее Фурье пережил эту круговерть, как и времена Террора. Опираясь на свой солидный политический опыт, он даже умудрился почти 13 лет продержаться в должности префекта департамента Изер, и только последний год оказался рискованным.
В течение 12 лет с апреля 1802-го по апрель 1814-го Фурье с максимальной пользой проводил свое изгнание, зарекомендовав себя в качестве опытного губернатора. Ему удалось заключить соглашение с сорока коммунами об осушении огромного болота в Бургуэне, что стало настоящим политическим достижением, поскольку все предыдущие попытки договориться провалились. Он проложил новую дорогу из Гренобля в Турин. Он покупал книги для городской библиотеки, покровительствовал одаренным молодым людям, в первую очередь Шампольону, и работал над многотомным «Описанием Египта», которое увидело свет в 1810 году. Несмотря на сильную занятость, Фурье каким-то образом нашел время для развития волновой теории. К ней его привели не прослушивание концертов Моцарта или созерцание красот Альгамбры, а размышления о распространении тепла как о движении волн. Возможно, его théorie de la chaleur (теория тепла) а вместе с ней и его великая гармоническая идея были его хитрым планом по возвращению в Париж.
Сам Фурье так говорил о своем экстраординарном интересе к теплу: «Вопрос о температурах земной почвы всегда представлялся мне одним из величайших предметов космологических исследований, и при создании математической теории тепла я главным образом имел в виду этот предмет». Он искал идею столь же грандиозную, как законы Ньютона.
Виктор Кузен, французский историк и философ, хорошо знавший Фурье, придерживался иного взгляда на мотивы ученого. Он писал, что, когда Фурье вернулся в Гренобль из Египта, он даже в самую жаркую погоду выходил на улицу только в пальто и на всякий случай брал с собой еще одно. У него развилась физическая потребность в тепле, что кажется эксцентричным, но, скорее всего, является симптомом какой-то болезни.
У французов есть слово, обозначающее таких людей. В английском языке оно отсутствует и имеет лишь отдаленный аналог в русском: Фурье был frileux мерзляк. Он постоянно мерз. Он был избыточно, вероятно, даже болезненно чувствителен к холоду. Французское слово также несет дополнительный смысловой оттенок что такой человек неспособен к личным теплым отношениям. Некоторые, возможно, считали, что Фурье к ним излишне холоден.
Неизвестно, когда Фурье начал писать свою работу о тепле, но она захватила его еще в Гренобле, всего через пару лет после возвращения из Египта. Ее еще несовершенная черновая версия, относящаяся, вероятно, к 1804 или 1805 году, содержит первое известное упоминание волновых функций. Академической публике Фурье представил значительно переработанный вариант этой рукописи в конце 1807 года в форме трактата под названием «Воспоминания о распространении тепла в твердых телах». За время, прошедшее между черновым наброском и окончательной версией, он разобрался в физике распространения тепла и провел множество экспериментов для проверки своих математических расчетов.
По словам Фурье, эксперименты «способствовали тому, чтобы придать теории авторитет, от которого иначе пришлось бы отказаться в вопросе все еще неясном и, по-видимому, подверженном стольким неопределенностям». Так выглядит классическая наука. Разработайте теорию для выдвижения гипотезы. Проведите эксперимент для ее проверки. Слова Фурье доказывают, что он одновременно был математиком и физиком-экспериментатором. Он не боялся запачкать руки.
Фурье понял, что может описать сложную картину теплового потока, проходящего через твердый объект, как сумму синусоидальных волн. Это означало, что он мог предсказать, как (и на протяжении какого времени) тепло будет распространяться, скажем, от запального фитиля пушки к ее жерлу.
Итак, для понимания контекста: между 1803 и 1807 годами, пока Фурье совершенствовал свою теорию передачи тепла и проводил подтверждающие ее эксперименты, он также заключал контракты на осушение болот, строил дороги, наставлял молодых людей и работал над публикацией исследования о Египетской экспедиции. Откуда у него такая пропускная способность?
Фурье одинаково хорошо ориентировался в политике как республики, так и империи. Он использовал свое личное знакомство с Наполеоном, чтобы утвердить проект строительства большой дороги между городами, передав императору короткую пояснительную записку. Наполеон рассмотрел и утвердил проект всего за два дня. А вот отношения с научными кругами оказались не столь успешными, поскольку в изгнании Фурье отдалился от академических интриг, происходивших в Париже.
В академических кругах одним из первых с его трактатом 1807 года ознакомился Лаплас, тот самый, которого Наполеон назначил сенатором и который знал Фурье еще по Политехнической школе. Лапласу не нравилась математика, лежащая в основе великой идеи Фурье. Первую публичную атаку на него провел протеже Лапласа Симеон Дени Пуассон, который после назначения Фурье префектом Изера занял его кафедру в Политехнической школе. В результате долгой и ожесточенной полемики трактат так и не был опубликован Академией. Лаплас в конце концов согласился с идеями Фурье, но Пуассон так и не изменил своего мнения.
По мнению потомков, Фурье впервые изложил свою теорию в работе 1807 года, поэтому можно считать, что на 2007 год пришелся ее неотпразднованный двухсотлетний юбилей. Однако прежде чем получить заслуженное внимание, Фурье пришлось ответить еще на один вызов. Вероятно, из-за продолжительных споров Академия объявила, что в 1811 году присудит большую премию в области математики за исследования распространения тепла в твердых телах! Фурье в ответ написал Призовое эссе расширенную версию работы 1807 года, сохранившую ее основные положения.