Таким образом, узловые моменты построения состоят из промежуточных утверждений, причём каждое следующее отстоит от предыдущего на некоторое число мелких логических переходов. Если такая последовательность этапов уже намечена, то переход от каждого к следующему становится делом более простым и более видимым. Математик намечает эти промежуточные результаты, пользуясь своим опытом и ассоциативной памятью, позволяющей ему по аналогии улавливать сходство между различными математическими утверждениями и обретать веру без всякой уверенности в том, что переход от каждого этапа к следующему возможен. Если намеченные этапы выбраны удачно и ведут действительно к цели, то потом удаётся восстановить постепенно отрезки всего пути.
Такова, по моему мнению, грубая схема математического творческого мышления. Для проведения описанного построения цепочки производится огромное число неудачных проб. Талант заключается в том, чтобы быстро оценить ситуацию, т.е. усмотреть, где находится правильный, а где ложный путь. Среди множества неудачных попыток вдруг обнаруживается и удачная. Это называют иногда озарением. В действительности же это плод огромного труда и отбора из множества негодных путей правильного пути.
Пуанкаре считает, что нахождение правильного пути является плодом длительной подсознательной деятельности. Я не могу с этим согласиться, во всяком случае такое предположение не обязательно. В качестве яркого примера он приводит случай, когда внезапно был озарён догадкой о том, что группа, связанная с автоморфной функцией, есть та же самая группа, что имеет место в неевклидовой геометрии.
На мой взгляд, имело место другое. В его уме были представления об обеих группах. Первая группа, связанная с автоморфной функцией, которую он искал, и вторая лежала в голове готовая - это группа преобразований в плоскости Лобачевского. Догадка или переход заключался в том, что группы эти одинаковы.
Пуанкаре сразу уверовал в это и считал это плодом длительной подсознательной работы. В действительности же утверждение потребовало дальнейшей проверки и оказалось правильным. Оно, вероятно, было одним из многих предположений, которые он делал и которые оказывались неправильными. Его гений заключался в том, что он быстро отметал неправильные пути и быстро делал всё новые и новые попытки, прежде чем попал на правильное решение вопроса.
Мне кажется, не следует преувеличивать активную роль подсознания в человеческом мышлении. Подсознанию я отвёл бы роль склада, в котором хранятся накопленные человеком представления, т.е. роль пассивной памяти. Может ли этот склад внезапно выбросить на поверхность сознания без запроса последнего какое-то представление? Я пытался выяснить этот вопрос с помощью наблюдений. Много раз, обнаружив, что в моём сознании появился какой-то новый образ, я старался найти объяснение этому проявлению и всегда обнаруживал, что между тем предметом, о котором я сознательно думал, и вновь появившимся существует вполне сознательная цепочка промежуточных представлений, каждое следующее из которых связано с предыдущим близкой ассоциацией. Все эти ассоциации можно было припомнить, так как они находились в моём сознании, а вовсе не в подсознании. Последний, конечный пункт этой цепочки не был, таким образом, выброшен спонтанно моим складом, а появился в результате ассоциативных переходов от одного звена к другому. Мы с женой очень часто замечаем, что у нас одновременно из подсознания всплывало одно и то же представление, хотя о нём мы и не говорили. Но нам всегда удавалось установить ту цепочку вполне сознательных переходных ассоциаций, которая вела к новому объекту от того, который был предметом нашего сознательного внимания в данный момент. Таким образом, исключалась и возможность передачи на расстоянии мысли от одного из нас к другому. Цепочка ассоциаций, ведшая к новому предмету мышления, была одинаковой, поскольку мы привыкли одинаково думать.
С другой стороны, я замечал, что при активном занятии математикой первая мысль после сна, появлявшаяся в моей голове, являлась продолжением той, с которой я засыпал. Точно так же не ясно, как возникают образы сновидений. Таким образом, нельзя утверждать, что каждый предмет мышления возникает в результате внешнего воздействия.
Я думаю, однако, что внезапно возникшее, по мнению Пуанкаре, в его уме представление о совпадении групп автоморфных преобразований и групп преобразований плоскости Лобачевского в действительности появилось не внезапно, а было вызвано цепочкой ассоциаций, исходным пунктом которой было внешнее впечатление, быть может, ручка омнибуса, за которую он держался, сходя со ступенек, или те же самые ступеньки. Какова была цепочка, ведущая от них или ручки к группам, сказать невозможно, но думаю, что она была.
К роли подсознательного мышления относится и вопрос о том, что такое математическая интуиция. Под ней обычно понимают способность человека прозревать истину или правильный путь решения задачи. Я же думаю, что интуиция представляет собой в какой-то степени автоматизированный опыт мышления, накопленный в результате большой деятельности. Некоторые отдалённо связанные между собой математические представления уже настолько хорошо проассоциированы в голове человека между собой, что переход от одного к другому не требует цепочки коротеньких ассоциаций, а совершается одним скачком. Возможность такого скачка является результатом опыта математического мышления. Большой труд, приводящий в результате к созданию множества ассоциаций, - вот основа математического творчества.
Занимаясь, математик не совершает сложного пути мелких ассоциаций, а сразу делает как бы "прыжки" от одного представления к другому, которое связано у него ассоциациями, вызывая одно другое. По себе я знаю, что, обладая довольно умеренной памятью, нужной для таких вещей, как, например, запоминание стихов, изучение иностранных языков, я обладаю исключительно хорошей ассоциативной памятью, которая даёт мне возможность заниматься математикой. Я иногда использую свою ассоциативную память там, где нужна какая-то другая память, создавая искусственные ассоциации. Так, например, в детстве немецкое слово "brücke" - "мост" я ассоциировал с представлением о брюках, повешенных над рекой. И эта ассоциация действует до сих пор. Соответствующее слово "bridge" английского языка, который я знаю гораздо лучше немецкого, и теперь даётся мне гораздо хуже, чем немецкое "brücke".
В своей научной работе я пришёл от задачи гомотопической классификации отображения сферы размерности n+k на сферу размерности n к проблеме изучения оснащённых гладких многообразий размерности k, расположенных в (n+k)-мерном евклидовом пространстве. Последовательные этапы установления этой связи были описаны мною выше.
Сперва я пришёл к локализации задачи. От локальной задачи пришёл к дифференциальному её описанию, а затем уже к гладкому многообразию размерности k, расположенному в (n+k)-мерном евклидовом пространстве, и к полю ортонормальных систем векторов, заданному в каждой точке этого многообразия. В этом построении ясно видны промежуточные этапы, каждый из которых дался мне не без труда, причём при построении их я руководствовался разного рода ассоциациями и привычными уже для меня представлениями. Наметив несколько промежуточных этапов, которые здесь описаны, я доказал, что гомотопическая классификация отображения (n+k)-мерной сферы на n-мерную сферу эквивалентна некоторого рода классификации оснащённых многообразий. Следующий этап - переход от оснащённых многообразий к характеристическим циклам многообразий M - уже не приводит к эквивалентности математических утверждений, а лишь намечает путь, на котором можно изучать оснащённые многообразия. Это предположительный путь, который иногда даёт результаты. Оказалось, однако, и это типично для математического исследования, что характеристические циклы имеют гораздо более широкие применения, чем изучение оснащённых многообразий.
Часть III
Избрание меня членом-корреспондентом АН СССР
В начале 1939 года произошло важное событие, резко изменившее моё положение в научной жизни, - я был избран членом-корреспондентом Академии наук СССР. К этому времени мои достижения в области математики были уже так велики и пользовались таким всеобщим признанием, что само избрание в члены-корреспонденты не вызывало у меня никаких сомнений и я не имел на этот счет никаких тревог. Однако в процессе выдвижения произошло одно событие, сильно взволновавшее меня тогда.
Кандидатами на выборах того года считались С. Л. Соболев, Н. И. Мусхелишвили, А. Н. Колмогоров, А. О. Гельфонд, М. А. Лаврентьев, И. И. Привалов и я. Соболев и Мусхелишвили только что были выбраны депутатами Верховного Совета, и поэтому ожидалось, что они будут выбраны академиками. Была уверенность в том, что Колмогоров, Гельфонд и я будем выбраны по меньшей мере членами-корреспондентами, может быть и академиками.
Неясным было положение М. А. Лаврентьева. Он очень старался стать членом Академии, пытался пройти сразу в академики, хотя бы по какому-нибудь другому Отделению, но это ему не удавалось. Он даже не был избран членом-корреспондентом, а был избран Привалов. В результате этого Лаврентьев согласился на избрание его академиком Украинской Академии наук, куда он и переехал на работу. Там он сблизился с Н. С. Хрущёвым, что в дальнейшем помогло ему организовать научный Новосибирский центр.
Выдвижение на выборы в Академию наук производится обычно с большим превышением. Выдвигалось много лиц, не имеющих никаких шансов на избрание, а те, которые имеют шансы быть избранными в члены-корреспонденты, обычно выдвигались в академики. Так было при подготовке выборов в 1939 году при выдвижении на Московском математическом обществе.
Незадолго до заседания Гельфонд по секрету сообщил мне, что есть решение ЦК выдвигать в академики только Соболева и Мусхелишвили, которые до этого были только что выбраны депутатами Верховного Совета СССР. Остальных же выдвигать только в члены-корреспонденты. Эта установка должна была быть внесена на заседании Московского математического общества как решение партийной группы математического общества, а отнюдь не как решение ЦК.
Я был очень раздражён такой "установкой" и решил выступить против неё открыто на заседании общества. Своё выступление, так же как предыдущее моё выступление по поводу Лузина, я готовил долго и тщательно. В своей речи я обвинил партийную группу в трусости, в том, что она прячется за уже ранее принятые без неё решения, поскольку Соболев и Мусхелишвили были "одобрены" ею на избрание в Верховный Совет.
Моё выступление было встречено бурными аплодисментами, но ряд партийных деятелей выступили против меня с обвинением в "несерьёзном" отношении к делу. Помню выступление Сегала. Он резко обвинил меня в том, что я веду себя "недисциплинированно, у нас в стране принято тщательно готовить каждое решение, и недопустимы такие партизанские действия, которые произвёл Понтрягин".
Несмотря на то, что моё выступление получило всеобщую поддержку, всё же никто не решился действовать против решения ЦК. Все, кроме Соболева и Мусхелишвили, поснимали свои кандидатуры на выдвижение в академики. То же самое сделал я, а также Колмогоров, который писал соответствующую записку.
Скандал, устроенный мною на Математическом обществе, не остался незамеченным. О нём стало известно в ЦК и выяснилось, что никакого решения ЦК, о котором нам говорили, не было! Это мнение было высказано каким-то мелким чиновником, который не имел на то права.
По прошествии некоторого времени Яновская сообщила, что предыдущее выдвижение отменяется, поскольку оно было сделано неправильно, "с неправильными установками". Так что состоялось новое заседание Московского математического общества, на котором и я, и Колмогоров были выдвинуты на выборы академиками, не помню, как Гельфонд. На этом втором заседании общества Яновская выступила с заявлением, в котором отметила моё выступление на предыдущем заседании как большую заслугу. Оно считалось очень смелым и принесло мне большой моральный авторитет среди математиков.
То были плохие времена. Один мой товарищ после заседания позвонил мне и сказал: "Ну, надеюсь, что тебя всё-таки не посадят".
Два моих выступления - в 1936 году по поводу Лузина и в 1939 году по поводу выборов - являлись важными этапами становления меня как общественного деятеля. В моём понимании оба они были борьбой за правое дело. В этом сказался мой общественный темперамент. Такие выступления я производил и позже, хотя довольно редко.
Начиная с конца 60-х годов моя борьба за правое дело приобрела более систематический и упорный характер. И в самом начале, и позже она была небезопасной для меня. Ею я продолжаю заниматься до сих пор. В самое последнее время особенно сильно я ощущаю ту опасность, которой я подвергаюсь. Это объясняется тем, что своими действиями я затрагиваю интересы довольно большого количества людей, зачастую влиятельных. Об этом я, быть может, расскажу позже.
Выборы 1939 года кончились тем, что Гельфонда, Привалова и меня выбрали членами-корреспондентами, а Соболева, Мусхелишвили и Колмогорова - академиками. О том, как происходили выборы, я знал только понаслышке. Кто-то рассказывал мне, что моя кандидатура в академики рассматривалась серьёзно. Но Виноградов предпочёл поддержать Колмогорова, которого он хотел противопоставить своему главному сопернику в Академии Бернштейну, специалисту в той же области, что и Колмогоров, - теории вероятностей. Я испытывал лёгкое огорчение, когда узнал, что у меня были шансы стать сразу академиком, но однако это не сильно огорчило меня. Я был доволен и тем, что получил.
Избрание меня членом-корреспондентом АН СССР сразу же сказалось реально на моей жизни. Я получил от Академии наук новую квартиру, в которой живу и до сих пор. Она и сейчас кажется мне хорошей, но имеет один серьёзный недостаток: находится в месте, где плохой воздух, дом стоит на Ленинском проспекте, в таком месте, где огромное автомобильное движение. А рядом находится большой завод. До этого мы с матерью жили в той самой квартире, которую занимали, когда я был ещё совсем маленьким ребёнком: небольшая трёхкомнатная квартира, в которой мы всегда занимали только две комнаты. До революции третья комната сдавалась студентам, а после революции в неё вселяли различных лиц без нашего согласия. С некоторыми из них были отношения вполне приличные, а с другими - очень скандальные. С последней соседкой мать почти что дралась - мы вынуждены были запираться изнутри в наших комнатах, чтобы она не проникла к нам.
Я очень старался добыть другую квартиру, но мне это никак не удавалось.
И вот летом 1939 года, когда мы были с матерью в санатории, до меня дошли слухи, что Академия наук предоставляет мне квартиру. Когда мы вернулись, я был приглашён в жилищный отдел Академии наук, и там мне сообщили, что они могут предложить мне квартиру площадью в 90 квадратных метров. И спросили, устраивает ли это меня. Я был потрясён огромным размером квартиры, но сказал, что устраивает.
Дом был ещё не достроен, и квартира не готова, но она уже предназначалась для меня. Мы осмотрели её и были в полном восхищении.
Осенью 1939 года началась вторая мировая война, и всё стало неустойчивым и шатким. Распространились слухи, что на дом претендует военное ведомство, однако в самом конце 1939 года мы перебрались в эту новую квартиру. Первые дни жизни в ней были какими-то грустными и тоскливыми, настолько, что я часто выходил на лестницу, чтобы хоть кого-нибудь встретить. Постепенно я всё больше привыкал к новому месту и, в конце концов, привык.
Такого движения, как сейчас, на Ленинском проспекте тогда не было и воздух был хороший. Получение новой квартиры я и сейчас считаю одним из важнейших событий моей жизни. В последние годы мы с женой усердно занимались благоустройством её. Одним из важнейших мероприятий была ликвидация шума, идущего в окна, выходящие на Ленинский проспект. А на него выходят все основные комнаты. Шум удалось ликвидировать, вставив толстые стёкла с хорошими прокладками. Окна, выходящие на Ленинский проспект, оказались герметически закупоренными. Зато они не пропускают никакого шума, а стены у дома толстые, и шум через них также не проникает. Пришлось построить вентиляцию, подающую воздух со двора. Это было грандиозное мероприятие. По большим комнатам были разведены трубы, а в ванной, выходящей на двор, установлен индустриальный центробежный вентилятор, накачивающий воздух в комнаты.
Была также существенным образом переоборудована кухня. Дело в том, что в ней очень неудобно расположены основные объекты: плита и раковина. Таким образом, что хозяйке приходится всё время вертеться с одной стороны на другую. При своих поездках в Америку мы узнали, как устроены там кухни. Они устроены очень целесообразно и удобно для работы. Сделан как бы конвейер, ведущий от плиты через стол к раковине и затем к посуде. Таким образом, хозяйка, находясь почти на одном и том же месте, может совершать всю работу. Я считаю, что бытовая техника очень помогает жить. В связи с этим я приобрёл в Америке машину для мытья посуды. К сожалению, она оказалась неэффективной, поэтому мы ею не пользуемся. Но приобретённая за границей стиральная машина оказалась хороша. Полностью автоматизированная, она выполняет большую работу по стирке белья. Так что проблема эта у нас решена. Кроме того, я приобрёл хорошие машины для обработки пищи: соковыжималку, кофемолку. Всё это теперь играет важную роль в нашем быту.
Избрание меня членом-корреспондентом не сыграло существенной роли в моей научной работе. Работа продолжалась. Я стал ходить на заседания Отделения физико-математических наук, членом которого стал, на общие собрания Академии наук. Основное впечатление от этих заседаний, которые я помню теперь, заключается в том, что они были посвящены совершенно бесполезному говорению. Однажды после трёхчасового заседания нашего Отделения академик Н. Н. Семёнов заявил: "Ну что ж, мы поработали сегодня хорошо, будем работать и дальше". Я одурел от этого заседания. Это заявление Семёнова показалось мне совершенно диким: можно ли называть работой говорение фактически совершенно бессодержательное.
Война и эвакуация
Ещё задолго до вторжения фашистской Германии в Советский Союз я жил с ощущением надвигающейся войны. Это были не месяцы, а скорее годы, может быть, два-три. Всякий свой план я мысленно оговаривал: если не начнётся война. Я даже произвёл некоторую подготовку к войне, а именно купил себе валенки, которые мне во время войны очень пригодились.
С этим же ощущением надвигающейся войны жили и многие другие люди, особенно в последние месяцы. Помню, что месяца за два до начала войны одна моя приятельница сказала: "Мне надо отдохнуть, скоро начнётся война, поеду на юг, пока ещё не началась". 21 июня 1941 года вечером она позвонила мне и сказала, что вернулась с отдыха. Я сказал ей: "Ну что, зря съездила? Войны-то нет". Она сказала: "Будет!" Когда уже началась война, Андронов рассказывал мне, что один его знакомый дипломат выехал в Берлин недели за две до начала войны. Когда он прибыл туда в посольство, ему там сказали: "А зачем Вас сюда прислали, через несколько дней начнётся война".