Задания первой серии были направлены на выявление знания нумерации целых чисел и состава числа (в пределах 1 000 000); задания второй серии позволяли сделать выводы о состоянии вычислительных навыков школьников; в заданиях третьей серии исследовались общематематические умения и навыки учеников; в заданиях четвертой и пятой серий изучались навыки решений текстовых арифметических задач различных видов; в шестой серии учащимся предлагались геометрические задания, выполнение которых позволяло судить о сформированности чертежно-измерителькых навыков. В заданиях всех серий исследовались вычислительные навыки.
Полученные данные показывают, что результаты выполнения контрольно-диагностических заданий по математике учащимися, имеющими задержку психического развития, коррелируют с результатами, полученными при обследовании учащихся начальной общеобразовательной школы, и в большинстве случае первые незначительно отличаются от вторых.
В процессе проведения исследования фиксировалось время, затраченное учащимися на выполнение каждой серии заданий, и оказываемая школьникам (в некоторых случаях) помощь.
Рассмотрим более подробно результаты выполнения каждой серии контрольно-диагностических заданий.
Первая серия содержала пять заданий. Правильно выполнили все задания серии 32 % обследованных учащихся с задержкой психического развития (первая группа) и 39 % учащихся начальной школы (вторая группа). Время, затраченное на выполнение заданий этой серии школьниками первой экспериментальной группы, составило в среднем 25 минут, учащимися второй группы – 13 минут.
Первое задание первой серии правильно выполнили 37 % учащихся первой и 69 % учащихся второй экспериментальных группы. Анализ работ показал, что испытуемые обеих групп допустили одинаковые ошибки:
1) нарушили порядок разрядных единиц в числе – 45 % и 29 % учащихся соответственно (при выполнении задания "Запиши цифрами числа: три тысячи восемьдесят" делали записи: "30 080", "3008");
2) теряли заданные компоненты числа и (или) добавляли произвольные – 34 % и 27 % соответственно (число "девятьсот две тысячи пятьсот" записывали как "9001500". "920520", переносили числа из предыдущего задания и т. п.).
Отказался от выполнения задания один учащийся первой экспериментальной группы, ничем не мотивировав свой отказ.
Правильно смогли воспроизвести числовой ряд многозначных чисел 60 % и 73 % учащихся соответственно. Учащиеся обеих групп допустили ошибки следующих видов:
1) неправильно определили и записали порядок пропущенного при счете числа 3 % и 6 % учеников соответственно (при условии "2 039… 2 041" пропущенное число записывали как ("20 040");
2) отказались от выполнения задания по 3 % школьников каждой группы.
Ошибки учащихся с задержкой психического развития:
1) манипулирование цифрами (допустил один ученик);
2) вместо пропущенного при счете числа записали число условия 3,1 % детей.
Среди учащихся начальной общеобразовательной школы 15 % записали числа, установив закономерность увеличения последующего числа на 2 (например, выполняя в задании "4506… 4508 записывали "4510" вместо "4507". В беседе выяснилось, что учащиеся ошибочно восприняли формулировку задания как "установить закономерность при счете и записать последующее число").
Задание, в котором учащимся предлагалось выбрать правильную запись числительными заданного многозначного числа, верно выполнили 85 % обследованных первой группы и 96 % учащихся второй группы. Ошибки мы разделили на две группы: в первую вошли сшибки, допущенные учащимися с задержкой психического развития, во вторую – ошибки учащихся общеобразовательной школы.
Ошибки первой группы: 1) неправильный выбор записи заданного числа сделали 11 % обследованных; 2) немотивированный отказ от выполнения задания – 4,5 % детей.
Ошибки второй группы – отметка о правильности прочтения всех вариантов записи заданного числа числительными.
Задание "Записать все возможные трехзначные числа, используя заданные числа. Числа не должны повторяться. Подчеркнуть наибольшее число" правильно выполнили 27 % и 41 % учеников. Ошибки учащихся составили три группы: в первую вошли ошибки, допущенные учащимися обеих групп, во вторую – ошибки учащихся с задержкой психического развития, в третью – ошибки учеников общеобразовательной школы.
Ошибки первой группы: 1) записали не все возможные по условию числа – 44 % и 33 % обследованных школьников; 2) выполнили не все инструкции задания (не подчеркнули наибольшее из записанных чисел) – 19 % и 4 % обследованных учащихся.
Во вторую группу вошли ошибки: 1) не поняли смысла задания и отказались от выполнения – 17 % испытуемых; 2) неверно подчеркнули наибольшее число – 2 % обследованных.
Ошибки учащихся общеобразовательной школы: 1) записали числа с использованием дополнительных (не заданных) чисел – 11 % выполнявших контрольное задание; 2) допустили повтор в написании чисел – 4 % школьников.
Выделенные ошибки, по нашему мнению, наглядно демонстрируют недостаточное развитие произвольности основных психических процессов (памяти, внимания) и слабое развитие навыка, самоконтроля у учащихся обеих экспериментальных групп, трудность удержания инструкции, состоящей из нескольких звеньев.
Запись многозначного числа по сумме разрядных слагаемых правильно выполнили 57 % и 73 % учащихся. Испытуемые обеих групп сделали сшибки:
1) пропустили заданные компоненты при записи многозначного числа по сумме разрядных слагаемых 2 % и 30 % учащихся; (например, "200000 + 50000 + 30 = 25030" или "260030");
2) не смогли правильно соотнести разряд числа с его местом в числе 2 % и 6 % учеников соответственно (так, при правильном ответе "256030" были получены результаты: "2560030" "25630" "250 630" и т. п.);
3) произвели манипуляции с числами 8 % и 6 % учащихся;
4) не смогли выполнить задание 9 % и 3 % учащихся.
Учащиеся второй группы допустили, кроме перечисленных, ошибки еще одного вида – внесли в состав числа цифры, не предусмотренные заданием, – 6 % обследованных.
Анализ выполнения заданий первой серии позволил сделать вывод о том, что только 32 % учеников первой и 39 % учащихся второй групп на этапе окончания начальных классов владели знаниями нумерации в пределах 1 000 000 [184; 185]. Школьники слабо знали порядковый счет и состав многозначных чисел.
Правильно все задания второй серии выполнили 68 % и 75 % учеников. Время выполнения заданий второй серии учащимися с задержкой психического развития составило в среднем 20 минут, учащимися общеобразовательной школы – 10 минут.
Большое количество ошибок при выполнении табличных случаев умножения и деления может быть объяснено, с нашей точки зрения, непривычной для учащихся формой предъявления задания ("Какое число в 8 раз меньше 40?"). Видимо, это обстоятельство вызвало неадекватную запись ответа: "в 5 раз". Подобная запись решения, по нашему мнению, свидетельствует о недостаточной сформированности процессов обобщения и абстрагирования, а также об инертности мышления у учащихся обеих групп.
Наиболее слабо усвоенными учащимися обеих групп оказались правила деления и умножения на ноль, внетабличное деление. Это, с нашей точки зрения, можно объяснить сложностью данного учебного материала, изучение которого приходится на последний год обучения в начальных классах, следовательно, данные знания и навыки еще слабо закреплены в сознании учащихся.
При сложении и вычитании многозначных чисел учащимися обеих групп были допущены ошибки:
1) не знали алгоритм сложения и вычитания многозначных чисел 6,5 % и 7,2 % учеников (например, 8674 + 3489 = 12173; 5441 – 2076 = 3375 – при выполнении вычитания десятков учащийся не учел, что один десяток вычитаемого он уже использовал при вычитании единиц);
2) ошибки персеверации – 3,3 % и 3,5 % школьников заменили сложение вычитанием и наоборот (например, 5184 + 176 = 5006; 5441–2046 = 7517).
Учащиеся обеих групп складывали разноименные разряды (60 000 + 4 000 = 100 000. В индивидуальных беседах было выявлено, что большинство учеников, допустивших такие ошибки, знали, что нужно складывать только одноименные разряды, но не смогли применить это правило на практике. Они складывали значащие цифры, не обращая внимания на их место в числе, и приписывали произвольное количество нулей. Подобное выполнение заданий свидетельствует об отсутствии предварительного анализа компонентов действия, о нарушении ориентированной основы деятельности школьников).
При вычитании многозначных чисел обнаружилось также незнание таблицы вычитания однозначных чисел у 5,4 % и 9,5 % школьников (6012–2849 = 2861 и т. п.).
Учащиеся обеих групп допустили также ошибки потери разрядной единицы, которая была занята в последующем разряде, – 1,7 % и 0,9 % испытуемых. В основном эти ошибки были отмечены в старших разрядах многозначных чисел. Причина подобных ошибок, на наш взгляд, – неустойчивость внимания. Индивидуальные беседы выявили, что часть учащихся с задержкой психического развития даже на этапе окончания младших классов не умели использовать условные обозначения в процессе выполнения действий (в частности, точки над теми разрядными единицами, в которых занимали). Некоторые учащиеся не использовали условные обозначения совсем, другие применяли, но не над всеми разрядными единицами, а остальные, правильно поставив точки, в ходе решения забывали о том, что разрядная единица занята.
Ошибки, обусловленные неумением раздробить единицу крупного разряда на 10 более мелких, допустили 2,7 % и 1,8 % учащихся (5 000 – 1642 = 4468 – ученик занял 1 тысячу и раздробил ее на 10 сотен, 10 десятков и 10 единиц, кроме того, забыл, что занял 1 тысячу и в этом разряде осталось 4, а не 5 единиц). Эти ошибки связаны с недостатками восприятия, анализа и синтеза у учащихся с задержкой психического развития, их склонностью вычленять в объекте отдельные части и придавать им самостоятельное значение без установления их взаимосвязи и отношения к целому (Т. А. Власова, Г. И. Жаренкова, В. И. Лубовский, М. С. Певзнер и другие). Такие ошибки описаны у слабоуспевающих учащихся третьих классов общеобразовательных школ (А. С. Пчелко), у умственно отсталых школьников (М. Н. Перова, И. М. Шеина). Причинами таких ошибок у последних считаются ковкость, тугоподвижность мышления школьников, недостаточный учет в методике этих психологических особенностей, слабая опора на самоконтроль.
При выполнении умножения многозначных чисел учащиеся обеих групп допустили ошибки:
1) не знали таблицу умножения – 14 % и 4,8 % обследованных;
2) не знали алгоритм умножения многозначных чисел – 5,7 % и 14,7 % испытуемых;
3) потери нулей при записи результата – 3,1 % и 2,2 % школьников (например, 2 100 × 4 = 84 – ученик знал правило, отбросил нули и выполнил действие с сотнями как с единицами, но забыл о последнем звене действия – записи нулей. На наличие подобных ошибок у слабоуспевающих младших школьников указывала Н. А. Менчинская [135]);
4) ошибки персеверации – 2,8 % и 4,6 % школьников заменили умножение делением.
Учащиеся с задержкой психического развития допустили также ошибки, связанные с непониманием смысла действия умножения, – 9,6 % испытуемых заменили умножение чисел их сложением. Ошибки, связанные с нахождением лишь одного промежуточного произведения, были отмечены менее чем у одного процента детей с задержкой психического развития (например, 1568 × 42 = 3136). Подобные ошибки в специальной литературе известны как ошибки "застревания" на предшествующем способе действия (А. Р. Лурия, Н. А. Менчинская, М. Н. Перова, А. С. Пчелко, Л. С. Цветкова).
Деление многозначных чисел на одно– и двузначные числа вызывало ошибки в связи с несформированностью алгоритма выполнения этого действия у 11,4 % и 14 % учеников (например, 1845 : 9 = 25 – школьники теряли ноль в середине частного). У ряда учеников причиной подобных ошибок явилось непонимание значения и места нуля в числе, у других – слабость непроизвольного внимания.
В работах учащихся с задержкой психического развития нами были также выявлены ошибки: 1) незнание таблицы умножения у 5,7 %; 2) отказ от выполнения у 10,9 % испытуемых.
При анализе выполнения умножения и деления на 10, 100 и 1000 мы выявили, что ошибки учащихся носят общий характер, поэтому рассмотрим их совместно.
Учащиеся недописывали нули или делали запись лишних (7 % и 5,1 % школьников). Например, 520 × 100 = 5200, 200 000 : 10 = 2 000 – учащиеся усвоили лишь часть правила: при умножении на 10 и 100 нужно приписать нули, а при делении – отбросить. Вторая же часть правила – сколько именно нулей нужно приписать или отбросить при умножении и делении на 10, 100 или 1 000 ими не усвоена, а в некоторых случаях и не осознана. В подобном выполнении проявляется одна из особенностей понимания учебного материала учащимися с задержкой психического развития и слабоуспевающими младшими школьниками – трудность учета сразу нескольких условий инструкции (правила) (В. И. Лубовский, А. Р. Лурия, Н. А. Менчинская).
Анализ выполнения гаданий второй серии учащимися обеих групп позволил сделать вывод, что в среднем 82 % и 88 % учеников владели вычислительными навыками. При выполнении вычислений учащиеся обеих групп допустили в большинстве случаев ошибки, связанные с незнанием таблиц сложения и вычитания однозначных чисел, таблицы умножения и алгоритмов выполнения вычислений с многозначными числами; практически с одинаковой частотностью школьники допускали ошибки персеверации.
Задания третьей серии успешно выполнили 30 % и 32 % учащихся.
На выполнение заданий этой серии учащиеся первой группы затрачивали в среднем 20 минут, учащиеся второй группы – 12 минут.
С заданием успешно справились 88 % учащихся первой и все учащиеся второй групп. Ошибки учащихся с задержкой психического развития были связаны с тем, что они сравнивали не сами предложенные числа, а только их последние цифры (единицы чисел), Подобные ошибки свидетельствуют о непонимании смысла задания и проведении сравнения по несущественным признакам.
При выполнении второго задания учащиеся с задержкой психического развития допустили ошибки: 1) связанные с некритичным, без учета конкретной ситуации применением заученного правила расстановки порядка действия (сначала выполняются действия умножения и деления, а затем сложения и вычитания) – 13,8 % учеников (так, пример 480 : 4 – 3 × 20 + 7 = выполнили в такой последовательности: а) 3 × 20 = 60, б) 480 : 4 = 120, в) 60 + 7 = 67 и г) 120 – 67 = 53); 2) произвольно расставили порядок действий 4 % испытуемых (например, 480 : 4 – 3 × 20 + 7 = выполняли в такой последовательности: а) 480 : 4 = 120, б) 120 – 3 = 117, в) 117 × 20 = 2340, г) 2340 + 7 = 2347).
Ошибки учащихся общеобразовательной школы:
1) правильно определив порядок действий, в процессе решения оказались не в состоянии его придерживаться – 9 %:
2) ошибки невнимания выявлены у 6,8 % испытуемых.
С третьим заданием успешно справились 31 % и 33 % учеников. Анализ выполнения школьниками этого задания позволил выделить следующие ошибки:
1) ошибки, связанные с незнанием названий мер длины и веса, допустили 8 % и 4,8 % учеников (например, 2300 г = 2 м);
2) ошибки, связанные с незнанием соотношения мер длины и мер веса, – 23 % и 57 % учащихся (например, 305 дм = 3 050 000 км);
3) вычислительные ошибки при переводе в более крупные единицы измерения – 28 % и 31 % школьников (например, 305 дм = 3 м 5 дм).
При выполнении четвертого задания выявилось незнание алгоритма нахождения неизвестного уменьшаемого у 17,1 % и 4,6 % учеников (уменьшаемое находят посредством вычитания из разности вычитаемого).
В работах учащихся с задержкой психического развития отмечена тенденция нахождения неизвестного компонента путем подбора числа.
Выполнение задания, содержащего несколько звеньев инструкции, вызывает большие трудности у учащихся с задержкой психического развития (Г. И. Жаренкова). Этот навык исследовался при выполнении ряда заданий. Мы рассмотрим его сформированность на примере выполнения пятого задания третьей серии, в котором учащимся предлагалось решить примеры и выполнить проверку. При анализе выполнения этого задания было выявлено, что 20 % и 16,7 % учеников, неверно решив пример, при выполнении проверки не находили допущенную ошибку, а подгоняли ответ под полученный в ходе решения результат. Это свидетельствует о формальном выполнении операции проверки решения примера испытуемыми обеих групп. К недочетам выполнения этого задания мы отнесли отсутствие записи ответа решения – 35 % и 18 % учащихся соответственно.
Данные, полученные в ходе анализа выполнения учащимися заданий третьей серии, позволили сделать выводы, что к концу обучения в начальных классах: 1) 88 % обследованных учащихся первой и все учащиеся второй группы овладели навыком сравнения многозначных чисел; 2) 82 % и 84 % обследованных правильно определили и соблюдали в дальнейшем порядок выполнения действий при решении примеров; 3) только 31 % и 33 % учеников правильно преобразовали именованные числа; 4) у 77 % и 95 % школьников сформирован навык решения уравнений; 5) 64 % и 96 % учащихся соблюдали в процессе выполнения заданий инструкции, состоящие из нескольких звеньев.
Правильно все предложенные задания четвертой и пятой серий решили 54 % и 42 % учащихся.
На выполнение заданий этих серий учащиеся первой группы затратили в среднем 52 минуты, учащиеся второй группы – 39 минут.
Навык решения задач на разностное сравнение сформирован у 85 % учащихся первой и у всех учащихся второй группы. Ошибки учащихся с задержкой психического развития были связаны с непониманием смысла задач данного типа и вследствие этого проведения манипуляций с числами условия. Учащиеся обеих групп испытывали трудности при формулировании ответа задач (например, 78 % и 22 % школьников сделали такие записи: "ответ: на 9 км туристы проплыли больше, чем во второй день", что, по нашему мнению, свидетельствует об инертности мышления учащихся обеих групп. Составную арифметическую задачу на нахождение суммы в два действия правильно решили 64 % и 78 % испытуемых. Учащиеся обеих групп допустили ошибки: 1) не поняли смысла задачи 32 % и 18,6 % испытуемых; 2) вычислительные ошибки – 9 % и 3 % учеников; 3) отказались от выполнения задания 1,4 % и 1,7 % обследованных.
Учащиеся с задержкой психического развития допустили ошибки еще одного вида – во втором действии складывали результат первого действия и число условия, а не второй компонент 2,7 % испытуемых.
Учащиеся общеобразовательной школы сделали ошибки:
1) не знали соотношения "дороже – дешевле" – 3,8 % учащихся (так, при условии, что блокнот на 24 рубля дешевле (подчеркнуто автором) общей тетради находили стоимость блокнота действием сложения);
2) верно выполнив действия, неправильно записывали ответ (как пояснение к первому действию) – 8 % выполнявших задание, Характерна была такая запись: "Ответ: общая тетрадь стоят 148 рублей" (подчеркнуто автором);
3) в одной работе была допущена перестановка цифр (при правильном выполнении действий в ответе вместо "148 рублей" записали "184 рубля").