Для определения местонахождения точки (или точечного объекта) в пространстве обычно пользуются прямоугольной системой координат, которая состоит из взаимно-перпендикулярных координатных осей, пересекающихся в одной точке. Количество этих осей равно количеству независимых координат, а следовательно, количеству измерений данного пространства. Координаты прямоугольной системы координат принято называть ортонормированными.
Существует много других систем координат. Так система координат, для которых не все координатные линии прямые, называются криволинейными, например определяющие положение точки на земной поверхности. Однако если специально не оговорено, в дальнейшем мы будем иметь в виду прямоугольные системы координат, которые называют еще декартовыми по имени Рене Декарта (1596-1650) – французского ученого и философа.
Геометрия не есть пространство. Она является всего лишь научной моделью пространства, позволяющая изучать пространство и его взаимоотношение с объектом с определенными допущениями. Например, прямую линию можно себе представить как дугу окружности с бесконечно большим радиусом. Однако бесконечно больших чисел в физическом мире нет. Следовательно, бесконечно больших радиусов тоже нет. А это в свою очередь означает, что прямых линий (а следовательно, и плоскостей) в мире нет и быть не может. Тем не менее допущение о прямолинейности координатных осей позволяет нам решить многие проблемы без ущерба для качества наших практических и теоретических исследований.
Чтобы определить местонахождение какого-либо точечного объекта в пространстве, необходимо установить степень его удаленности от какого-то "начала". Но никакого "абсолютного начала" у относительного пространства нет и не может быть. Однако такого рода "начало" может быть относительной категорией, а не абсолютной. В связи с этим за начало отсчета в пространстве может быть принята любая его точка на пересечении всех координатных осей. Обычно оно выбирается там, где находится "условный" наблюдатель. Тогда, вычислив путь, пройденный рассматриваемым точечным объектом от такого рода условного "начала" отсчета, мы можем определить его местонахождение в пространстве в любой момент времени. Эти числа, определяющие положение точечного объекта в пространстве, и принято называть координатами.
С точки зрения не только геометрии или математики, но и других наук, совершенно безразлично, что именно мы понимаем под термином "пространство": пространство перемещения или же пространство изменения свойств объекта. Под термином "движение" мы можем подразумевать как "механическое перемещение" так и "изменение свойств" объекта. Например, зависимость у=ах может графически или "пространственно" выражать: перемещение шарика по биллиардному столику, увеличение температуры воздуха от утра до полудня или же накопление количества знаний в зависимости от количества прочитанных книг и т. д.
Уравнением связи называется функциональная зависимость одной координаты от другой или других координат. Координаты называются независимыми, если они никак не зависят друг от друга и не связаны поэтому никакими уравнениями. Из высшей математики известно, что если положение или состояние системы можно полностью определить посредством некоторого количества к независимых величин х1, х2….,хk, которыми, в частности, могут быть декартовы координаты, то эти величины называются обобщенными координатами, где k – количество обобщенных координат, равное количеству измерений пространства.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено одной координатой, то такое пространство называется одномерным. Примерами одномерных пространств могут служить не только прямые, но и любые кривые линии.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено двумя независимыми координатами, то такое пространство называется двухмерным. Примерами двухмерных пространств могут служить не только плоскости, но и любые кривые поверхности.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено тремя независимыми координатами, то такое пространство называется трехмерным. Примером трехмерного пространства является физическое пространство нашей Вселенной.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено четырьмя независимыми координатами, то такое пространство называется четырехмерным. Примером четырехмерного пространства является четырехмерный пространственно-временной континуум нашей Вселенной, четвертое измерение которого (время) мы непосредственно не ощущаем по той причине, что нам не дано свободы перемещения во времени.
Если местонахождение или состояние точки (или точечного объекта) в пространстве в любой момент времени может быть определено пятью независимыми координатами, то такое пространство называется пятимерным и т. д.
Свободой в теории пространства мы называем возможность выбора направления движения, изменения, развития или действия. Количеством степеней свободы мы называем такое количество измерений пространства, которое точечный объект может использовать по своему выбору.
Например, положение неподвижного камня в трехмерном пространстве определяется тремя независимыми координатами. Но тем не менее неподвижный камень в трехмерном пространстве не обладает никакой свободой вообще, ибо он для своего движения не может использовать ни одну из трех измерений того пространства, в котором он существует. Где он лежит, там он и обязан лежать. Биллиардный шарик имеет всего лишь одну степень необходимости (а не свободы) движения в том направлении, куда его ударил игрок.
Положение машины в трехмерном пространстве определяется также тремя независимыми координатами. Но тем не менее машина, управляемая человеком, может использовать всего лишь два измерения из трех, ибо она не может оторваться от земли и использовать третье измерение того пространства, в котором она существует. Поэтому мы говорим, что такая машина обладает двумя степенями свободы в трехмерном пространстве.
Птица обладает тремя степенями свободы в трехмерном пространстве. Но стоит ей приземлиться и утратить свою способность к полету, как количество степеней ее свободы окажется равным двум.
К сожалению, определения некоторых терминов в механике и философии не совпадают. Так например, в механике под термином "количества степеней свободы" подразумевается "количество степеней необходимости", равное количеству точечных объектов. В объективной действительности свободу выбора имеют только лишь живые объекты, рассматриваемые в философии. Неживые материальные объекты, рассматриваемые в механике, не обладают никакой свободой. У каждого из них есть только лишь одна-единственая степень необходимости действовать так и только лишь так, как диктуется им законами природы.
Необходимостью мы называем всякое обязательное действие, движение или изменение объекта в определенном направлении, которое навязано ему извне. Необходимость есть противоположность свободы, а не сама свобода.
Любой материальный объект существует в трехмерном физическом пространстве, но обладает одной-единственной степенью необходимости. Вторая и третья координаты зависят от первой.
23. Одномерное пространство
Прямую линию, в которой может существовать и перемещаться точечный объект, можно называть одномерным пространством.
Исай Давыдов
Измерения и координаты.
Координатой называется число, которое определяет положение точки (точечного объекта) на линии, Но что это значит?
Чтобы определить местонахождение какого-либо точечного объекта на линии, необходимо установить степень его удаленности от какого-то "начала". Но никакого "абсолютного начала" у линии нет и не может быть, потому что она предполагается бесконечно большой в обе стороны. Однако всякое "начало" может быть относительной категорией, а не абсолютной. В связи с этим за начало отсчета на линии может быть принята любая ее точка, но только лишь условно, относительно. Обычно оно выбирается там, где находится "условный" наблюдатель. Тогда, вычислив путь, пройденный рассматриваемым точечным объектом от такого рода условного "начала" отсчета, мы можем определить его местонахождение на линии в любой момент времени. Это число, определяющее положение точечного объекта на линии, и принято называть координатой. По одну сторону от выбранного "начала" откладывают положительные значения координаты х, а по другую – отрицательные.
Хотя поперечное сечение линии равно идеальному нулю, любая линия есть то, в чем может существовать и двигаться линейный или точечный объект, положение которого в любой момент времени определяется всего лишь одной координатой х. Поэтому не только прямая, но и любая другая линия может быть названа одномерным пространством, имеющим всего лишь одно единственное измерение: длину, Однако в целях простоты и наглядности наших рассуждений мы будем рассматривать только лишь прямолинейные координаты, если специально не будет оговорено иначе.
Если точку мы назовем безразмерным пространством или пространством, у которого количество измерений равно нулю, то одномерное пространство состоит из бесконечного множества "точечных пространств", отделенных друг от друга "дырками" нулевого измерения.
Количество степеней свободы.
Если точечный или линейный объект может перемещаться однозначно в одномерном пространстве по своей собственной воле, то он обладает одной степенью свободы. Такого рода объект, обладающий одной степенью свободы, мы называем одушевленным.
Если точечный или линейный объект обязан перемещаться однозначно в одномерном пространстве так и только лишь так, как предписано ему внешними силами, то он обладает одной степенью необходимости, а не свободы. Такого рода объект, не обладающий никакой свободой, а обладающий одной единственной степенью неосознанной необходимости, мы называем неодушевленным.
Конечное и бесконечное.
Линию, по которой могут двигаться точечные и линейные объекты, мы называем одномерным пространством. Бесконечная линия представляет собой бесконечное одномерное пространство, а отрезок прямой – конечное. Линия окружности представляет собой замкнутое одномерное пространство.
Бесконечно большое и бесконечно малое.
На любом конечном отрезке линии длиной l0 можно разместить бесчисленное множество безразмерных точек: n = l0/0 = ". Поэтому одномерное пространство является бесконечно большим в отношении безразмерной точки, а безразмерная точка является бесконечно малой в отношении одномерного пространства. Но это вовсе не означает, что два одномерных пространства являются якобы одним двухмерным пространством. Две параллельные, независимые друг от друга прямые вовсе не представляют собой двухмерное пространство, ибо точечный объект не может перемещаться от одной такой прямой в другую прямую, как бы близко они ни располагались.
Относительность пространства
Одномерное пространство является относительной категорией, ибо любая конечная сколь угодно малая в нашем представлении протяженность этого пространства представляется бесконечно большой для точечных объектов, существующих в нем.
Дырки в пространстве.
Чтобы выйти из одномерного пространства во второе измерение двухмерного пространства, линейный объект должен сократить свою длину до идеального нуля и пробить в своем одномерном пространстве "точечную дырку". Иначе ему пришлось бы пробивать "линейную дырку", а это гораздо сложнее, потому что его длина состоит из бесчисленного множества точек. Однако, сокращая свою длину до идеального нуля, линейный объект перестает быть линейным и становится точечным объектом. Поэтому одномерное пространство является закрытым для линейного объекта и открытым для идеальной точки. Идея, все геометрические размеры которой равны идеальному нулю, может проникнуть непосредственно из любой точки одномерного пространства в двухмерное пространство и наоборот. Для этого нет никакой необходимости идти в "конец" или на границу одномерного или двухмерного пространства.
Согласно основному закону природы, безразмерные точки, представляющие собой безразмерные элементы одномерного пространства, не могли бы существовать без своих противоположностей – "дырок", все размеры которых также равны идеальному нулю. Это значит, что любая линия представляет собой одномерное пространство, состоящее из бесконечно большого количества пар противоположностей: безразмерных точек и безразмерных "точечных дырок".
Физическое и идеальное пространство.
Любое одномерное пространство образовано движением безразмерной точки.
Одномерное пространство называется физическим, если оно образовано движением антифотона, все размеры которого равны идеальному нулю. Напомним читателю, что антифотоном называется элементарная порция отрицательной энергии (энергетическая противоположность фотона).
Одномерное пространство называется идеальным, если оно образовано движением идеального точечного пространства, все размеры которого равны идеальному нулю.
24. Двухмерное пространство
Мир плоских существ, в отличие от нашего, является пространственно-двухмерным.
Альберт Эйнштейн
Измерения и координаты
Через любую точку координатной оси одномерного пространства можно провести вторую координатную ось, перпендикулярную первому. Тогда след поступательного движения второй оси в направлении первой образует плоскость, имеющую два измерения: длину и ширину. Хотя толщина плоскости равна идеальному нулю, любая плоскость есть то, в чем может существовать и перемещаться не только точка, но и любая плоская фигура, имеющая нулевую толщину.
Положение любой точки или центра плоской фигуры на плоскости в любой момент времени может быть определено двумя независимыми координатами x и y. Количество измерений пространства равно количеству всех независимых координат. Поэтому любая плоскость, у которой толщина равна идеальному нулю, представляет собой двухмерное пространство, имеющее два измерения: длину и ширину. Таким образом, плоскость, по которой могут двигаться точечные, линейные и плоские объекты, мы называем двухмерным пространством.
Конечное и бесконечное.
Бесконечная плоскость представляет собой бесконечное двухмерное пространство, а ограниченная плоскость – конечное. Шаровая поверхность представляет собой замкнутое двухмерное пространство.
Ограничение степеней свободы.
Если движение точечного объекта в двухмерном пространстве не ограничивается никакими уравнением связи, то координаты x и у являются независимыми и поэтому двухмерное пространство для такого объекта так и остается двухмерным. Выражаясь иначе, количество степени свободы объекта в этом случае равно количеству измерений пространства.
Если движение точечного объекта в двухмерном пространстве ограничивается одним уравнением связи, например у = а, то для него двухмерное пространство становится одномерным, ибо он может двигаться только лишь по прямой, параллельной оси x и отстоящей от нее на расстоянии а. Выражаясь точнее, он в двухмерном пространстве имеет одну степень свободы.
Если движение точечного объекта на плоскости ограничивается уравнением связи типа х + у = г, то для него двухмерное пространство становится не только одномерным, но и замкнутым, ибо он может двигаться только лишь по замкнутой окружности с радиусом г.
Количество степеней свободы объекта равно такому количеству измерений двухмерного пространства, которое он может использовать по своей собственной воле.
Если точечный или плоский объект может перемещаться в обоих измерениях двухмерного пространства по своему собственному выбору, то он обладает двумя степенями свободы. Если точечный или плоский объект может перемещаться однозначно в двухмерном пространстве по своей собственной воле, то он обладает одной степенью свободы. Такого рода объект, обладающий одной или двумя степенями свободы, мы называем одушевленным.
Если точечный объект обязан оставаться в состоянии относительного покоя или перемещаться в двухмерном пространстве однозначно так и только лишь так, как предписывают ему законы природы или какие-либо другие внешние силы, то он не обладает никакой свободой вообще, а обладает одной единственной степенью необходимости, ибо след его вынужденного движения представляет собой линию (одномерное пространство). Такого рода объект, не обладающий никакой свободой, а обладающий одной единственной степенью неосознанной необходимости, мы называем неодушевленным.
Увеличение степеней свободы.
Согласно основному закону природы, ограничение степеней свободы не может существовать без своей противоположности – ее увеличения. В самом деле, через любую точку на плоскости можно провести сколь угодно большое количество прямых линий. Если объект находится в точке их пересечения, то он для своего движения может выбрать любую из бесконечного множества прямых. Это недвусмысленно означает, что количество степеней свободы такого точечного объекта в двухмерном пространстве может быть бесконечно (сколь угодно, неограниченно) большим.
Если двухмерное пространство имеет всего два измерения, то это вовсе не означает, что в нем существует якобы всего лишь два одномерных пространства. На любой ограниченной плоскости можно провести сколько угодно параллельных и непараллельных прямых, ибо ширина и толщина каждой из них равна идеальному нулю. Совершенно аналогично, в любом двухмерном пространстве можно разместить сколь угодно большое количество одномерных пространств, как незамкнутых, так и замкнутых. Тем не менее, двухмерное пространство имеет две координаты, а каждое одномерное пространство – по одной координате.
Поэтому количество измерений двухмерного пространства всегда равно двум, а количество измерений всех одномерных пространств, уложенных в двухмерном пространстве, может быть равно бесконечности. Это недвусмысленно означает, что количество измерений двухмерного пространства не равно количеству измерений всех одномерных пространств, уложенных в двухмерном пространстве. Интеллект человека может не только использовать два существующих измерения двухмерного пространства, но увеличить количество измерений, а следовательно, и количество степеней свободы в нем.