Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 22 стр.

Функция sin–1 (которая также называется арксинусом) всегда даст нам угол в диапазоне от –90° до 90°, но мы-то с вами знаем, что есть и другие углы с тем же значением синуса – синус 150°, например, будет также равен 1/2. То же происходит и с любым кратным 360° значением, прибавляемым к 30° или 150° – синусы будут равны.

Для треугольника с длинами сторон 3, 4 и 5 (см. рисунок) калькулятор может рассчитать ∠A тремя различными способами, каждый из которых будет основан на своей обратной функции:

Самое время применять все эти знания на деле. В «геометрической» главе мы доказали теорему Пифагора, с помощью которой можно вычислить длину гипотенузы прямоугольного треугольника, зная длины его катетов. Здесь же, в главе «тригонометрической», мы можем сделать практически то же самое для любого треугольника. В этом нам поможет закон косинусов.

Теорема (закон косинусов): Длина стороны c любого треугольника ABC, в котором стороны a и b образуют ∠C, соответствует

Для примера взгляните на изображенный ниже треугольник ABC. Между двумя его сторонами с длинами 21 и 26 лежит угол 15°. Согласно закону косинусов, длина третьей стороны с составит

А так как cos 15° ≈ 0,9659, уравнение упрощается сначала до c² = 62,21, а потом и до c ≈ 7,89.

Доказательство: Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим три частных случая – в зависимости от того, будет ли ∠C прямым, острым или тупым. Если ∠C – прямой, его косинус будет равен cos 90° = 0, что упрощает закон косинусов до c² = a² + b², то есть до уже доказанной нами теоремы Пифагора.

Если ∠C – острый (как на рисунке), опустим перпендикуляр из ∠B к стороне AC до лежащей на ней точки D. Получим два треугольника. Применим теорему Пифагора к CBD – a² = h² + x² и придем к

Треугольник же ABD можно просчитать как c² = h² + (b – x)² = h² + b² – 2bx + x², то есть

Составим из двух равных h² частей уравнение:

Следовательно,

В треугольнике CBD cos C = x/a, поэтому x = a cos C. Следовательно, если ∠C является острым, то

Если же ∠C – тупой, дополним треугольник ABC прямоугольным треугольником CBD, как на рисунке:

Для него, как и для получившегося большого, верна теорема Пифагора: a² = h² + x² и c² = h² + (b + x)². Как и в случае с острым ∠C, соединим уравнения:

В треугольнике CBD cos (180° – C) = x/a, то есть x = a cos (180° – C) = –a cos C. И мы вновь приходим к искомому:

Кроме того с помощью функций можно рассчитать площадь треугольника.

Сопутствующая теорема: В любом треугольнике ABC со сторонами a и b и лежащим между ними ∠C

Доказательство: Площадь треугольника с длиной основания b и высотой h равна Все три треугольника, рассмотренные при доказательстве закона косинусов, имеют основание b. Определим высоту h. В остроугольном треугольнике обратим внимание на то, что sin C = h/a, то есть h = a sin C. В тупоугольном треугольнике sin (180° – C) = h/a, поэтому опять имеем h = a sin (180° – C) = a sin C. В прямоугольном же треугольнике h = a, что равно a sin C, потому что C = 90°, а sin 90° = 1. Следовательно, так как во всех трех случаях h = a sin C, площадь треугольников составит что и требовалось доказать.

Следствия этой теоремы очевидны:

Другими словами, в треугольнике ABC (sin C)/c равен его удвоенной площади, разделенной на произведение длин трех его сторон. Какой угол выбрать, по большому счету не так уж и важно – (sin B)/b или (sin A)/a дадут нам тот же результат. И это доказывает одну очень полезную теорему.

Теорема (закон синусов): В любом треугольнике ABC, длины сторон которого соответственно равны a, b и c,

Закон синусов – это еще один способ вычислить высоту нашей горы. На этот раз мы сосредоточимся на a – диагонали, пролегающей между нами и вершиной:

Способ № 5 (закон синусов): В треугольнике ABD ∠BAD = 32°, а ∠BDA = 180° – 40° = 140°. Следовательно, ∠ABD = 8°. Согласно закону синусов получаем

Умножим обе части на sin 32°, что даст нам a = 300 sin 32°/ sin 8° ≈ 1143 метров. А так как sin 40 ≈ 0,6428 = h/a, то

что полностью совпадает с ответом, к которому мы пришли в прошлом разделе.

Не менее замечательна в этом отношении формула Герона, с помощью которой можно найти площадь треугольника по длинам его сторон a, b и c. Сначала мы находим полупериметр p:

А потом и площадь S:

Например, если взять треугольник со сторонами 3, 14 и 15 (узнаете первые пять цифр числа π?), полупериметр будет равен (3 + 14 + 15)/2 = 16, а площадь, таким образом, – √(16(16 – 3)(16 – 14)(16 – 15)) = √416 ≈ 20,4.

Несложно, правда? Уверен, внимательный читатель не сможет не заметить здесь закон косинусов, слегка приправленный алгеброй.

Тригонометрические тождества

Но этим возможности тригонометрических функций не ограничиваются. Они способны и на куда более интересные и запутанные взаимоотношения – так называемые тождества. Некоторые из таких тождеств мы уже наблюдали, например,

Но их, конечно же, куда больше.

Из тождеств рождаются формулы, притом весьма полезные. Ими-то мы и займемся в этом разделе.

Первое тождество основывается на формуле единичной окружности:

Под эту формулу должна подходить точка (cos A, sin A), принадлежащая единичной окружности. Следовательно, (cos A)² + (sin A)² = 1, из чего проистекает, пожалуй, наиболее важное тригонометрическое тождество.

Из тождеств рождаются формулы, притом весьма полезные. Ими-то мы и займемся в этом разделе.

Первое тождество основывается на формуле единичной окружности:

Под эту формулу должна подходить точка (cos A, sin A), принадлежащая единичной окружности. Следовательно, (cos A)² + (sin A)² = 1, из чего проистекает, пожалуй, наиболее важное тригонометрическое тождество.

Теорема: Для любого ∠A

До сих пор все произвольные углы мы обозначали буквой A. Но это не значит, что вы обязаны всегда так делать, можно брать и другие буквы, например, x:

В тригонометрии для этой цели часто используется греческая буква θ (тета) –

А бывает и так, что вообще ничего не используется:

Но перед тем как доказывать какое бы то ни было тождество, нужно найти длину отрезка прямой. В этом нам поможет теорема Пифагора.

Теорема (формула расстояния между двумя точками): Обозначим длину отрезка прямой от точки (x1, y1) до точки (x2, y2) буквой L. Тогда

Например, длина отрезка от точки (–2, 3) до точки (5, 8) равна

Доказательство: Возьмем две точки (x1, y1) и (x2, y2). Начертим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет отрезок, соединяющий эти точки. На рисунке выше длина основания равна x2 – x1, а высота – y2 – y1. Следовательно, согласно теореме Пифагора, гипотенуза L равна

то есть что и требовалось доказать.

Чему будет равна диагональ в коробке размером a × b × c? Возьмем прямоугольник, образующий дно этой коробки, и обозначим пару противоположных его углов буквами O и P. Длина и ширина при этом будут равны соответственно a и b, а диагональ OP – √(a² + b²).

Теперь проложим линию c от точки P к точке Q, образующей угол, противолежащий O. Чтобы найти расстояние от O до Q, нам понадобятся длины катетов прямоугольного треугольника и c. Применим к ним теорему Пифагора и получим, что длина диагонали OQ равна

Ну а теперь собственно тождество – столь же полезное, сколь и красивое. Доказательство может показаться несколько запутанным, поэтому можете смело его пропускать (хотя я все же советую вам в нем разобраться – оно ляжет в основу доказательства других тождеств).

Теорема: Для любых углов A и B

Доказательство: На единичной окружности, центром которой является точка O, расположены точки P (cos A, sin A) и Q (cos B, sin B). Предположим, что длина отрезка PQ равна с. Что можно сказать о ней?

В треугольнике OPQ отрезки OP и OQ являются радиусами единичной окружности, а значит, их длина равна 1, а ∠POQ может быть измерен как A – B. Следовательно, согласно закону косинусов,

С другой стороны, формула расстояния приводит нас к уравнению

поэтому расстояние c от точки P = (cos A, sin A) до точки Q = (cos B, sin B) соответствует

где последнее представление основывается на уравнениях cos² B + sin² B = 1 и cos² A + sin² A = 1.

Соединив эти уравнения для c², получаем

Вычтем из обеих частей 2, разделим их на –2 и получим

что и требовалось доказать.◻

Формула для cos (A – B) основывается на законе косинусов и исходит из того, что 0° < A – B < 180°. Но ту же теорему можно доказать и выйдя за рамки подобных ограничений. Если переместить треугольник POQ по часовой стрелке на B градусов, мы получим конгруэнтный ему треугольник P'OQ', в котором Q' будет располагаться на оси x в координатах (1, 0).

Так как ∠P'OQ' = A – B, P' = (cos (A – B), sin (A – B)). Согласно формуле расстояния для P'Q' будет верно следующее:

c² = (cos (A – B) – 1)² + (sin (A – B) – 0)² = cos² (A – B) – 2 cos (A – B) + 1 + sin² (A – B) = 2 – 2 cos (A – B)

Из этого можно заключить, что c² = 2 – 2 cos (A – B), при этом нам не нужны ни теорема косинусов, ни предположение об угле A – B. Ну а дальнейшее доказательство можно скопировать с предыдущего.

Обратите внимание, что при A = 90° формула для cos (A – B) утверждает следующее:

Происходит это на том основании, что cos 90° = 0, а sin 90° = 1. Если в этом уравнении заменить B на 90° – B, получим

Мы уже доказали правдивость этих утверждений на примере B как острого угла. Однако алгебра позволяет нам пойти дальше и подтвердить их для любого значения B. Так, если заменить B на – B, мы придем к

так как cos (–B) = cos B, а sin (–B) = –sin B. Если предположить, что B = A, у нас получится формула функций двойного угла:

А так как cos² A = 1 – sin² A и sin² A = 1 – cos² A, мы также можем утверждать, что