Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 23 стр.

Из этого тождества косинусов проистекает аналогичное тождество синусов, например,

B = A приводит нас к формуле функций двойного угла для синусов –

а замена B на – B – к

Давайте соберем в одну таблицу все тождества, которые мы успели вывести в этой главе:

Повторюсь: использовать буквы A и B вы не обязаны, сгодятся и любые другие (скажем, cos (2u) = cos²u – sin²u или sin (2θ) = 2 sin θ cos θ).

Радианы и графики в тригонометрии

До сих пор нам встречались углы, значения которых находились исключительно в диапазоне от 0 до 360 градусов. Но пристальный взгляд на единичную окружность невольно заставляет усомниться в обоснованности выбора числа 360. Сделан он был давным-давно, еще в древнем Вавилоне, где в обиходе была шестидесятеричная система счисления, использовавшаяся в том числе и в календаре (да-да, число 360 подозрительно напоминает количество дней в году). Альтернатива была предложена много позже, в XIX веке, когда в математике – а затем и в других науках – появилось понятие радиана, представляющего собой

или, другими словами,

Для тауистов, почитающих число t как 2π,

В числовом же выражении 1 радиан примерно равен 57°.

Но зачем они нужны, спросите вы. И чем вдруг научному сообществу так не угодили привычные всем градусы?

В круге с радиусом r угол в 2π радианов охватывает длину окружности 2πr. Если взять часть этого большого угла, величина дуги, отделяемой этой частью, будет в 2πr раз больше получившейся дроби. Если говорить конкретнее, то 1 радиан «захватывает» дугу длиной 2πr(1/2π) = r, а m радианов – дугу длиной mr. В единичной окружности значение угла в радианах равно длине соответствующей ему дуги. Разве не удобно?

А вот единичный круг, поделенный на самые «популярные» углы – значения выражены как в градусах, так и в радианах.

Для сравнения – версия с t вместо π.

На рисунках, кстати, очень хорошо заметно, насколько t удобнее π. Для угла 90° (занимающего четверть окружности) представление в радианах выглядит как t/4; для угла 120° (треть окружности) – как t/3; для угла 60° (одна шестая окружности) – как t/6; t же есть, по сути, один полный оборот, то есть угол 360°.

Как нам еще предстоит убедиться, радианы позволяют значительно упростить формулы и уравнения подсчета тригонометрических функций. Формулы синуса и косинуса, например, можно превратить в «бесконечные ряды многочленов»:

но только если x измеряется в радианах. Или при исчислении, например, мы увидим, что cos x есть производная функция sin x при том же условии. Так же и графики тригонометрических функций y = sin x и y = cos x строятся обычно на основании радианного представления x.

Графики эти будут повторяться с шагом 2π (тауисты, на старт!). Происходит это из-за того, что как синус, так и косинус берут свои начала в окружности, а угол x + 2π по своей природе ничем не отличается от угла x. Именно поэтому эти функции называются периодическими, а шаг 2π – периодом синуса и косинуса. Кстати, если сдвинуть график косинуса вправо на π/2, он точь-в-точь совпадет с графиком синуса, потому что значение π/2 в радианах соответствует углу 90°. Из всего этого следует, что

(например, sin 0 = 0 = cos (–π/2), а sin π/2 = 1 = cos 0).

Тангенс, равный, как мы помним, sin x/cos x, так и останется неопределенным при cos x = 0 (что происходит всякий раз, когда линия графика проходит ровно посередине двух значений, кратных числу π). Значит, период тангенса равен π.

Синуса и косинуса, в принципе, достаточно, чтобы прийти к любой другой периодической тригонометрической функции. Именно благодаря такому своему уникальному свойству, как периодичность, они обрели огромную популярность для решения практических задач, в условиях которых заложена цикличность и «сезонность». Это и измерение температур, и анализ экономических данных, и многое другое. А еще с тригонометрическими функциями так или иначе связаны звуковые колебания, волны на воде, электричество и даже сердцебиение.

Ну и, по традиции, в завершение главы – самое интересное: между тригонометрией и числом π существует удивительная, поистине волшебная связь. Хотите ее увидеть? Возьмите калькулятор и наберите на нем столько пятерок, сколько получится. У меня, например, на экране уместилось их целых 16 – 5 555 555 555 555 555. Теперь посчитайте величину, обратную этому числу; у меня получилось

Нажмите кнопку «sin» и посмотрите, что у вас получилось (вначале может идти несколько нолей – просто не обращайте на них внимания). Лично на меня с дисплея смотрело число

которое (после отбрасывания 17 нолей, идущих за запятой) почти в точности повторяло первые 16 цифр числа π! К тому же результату можно прийти, начав с любого числа, состоящего как минимум из пяти пятерок.

В этой главе мы выяснили, зачем нужна тригонометрия, и увидели, как она помогает нам лучше понять свойства треугольников и окружностей. Тригонометрические функции – не просто «вещи в себе», они взаимодействуют, вступая друг с другом в замысловатые, но прекрасные в своей стройности отношения. А еще мы проследили их связь с числом π. Теперь черед за двумя другими важнейшими для математики величинами: иррациональной e = 2,71828… и мнимой i.

Глава номер десять Магия чисел i и e

Самая прекрасная математическая формула

Время от времени (с завидной, надо признать, регулярностью) математические и другие научные периодические издания проводят среди своих читателей опросы, предлагая им выбрать самое красивое уравнение. И раз за разом в числе лидеров оказывается она – удивительная формула, известная как тождество Эйлера:

Некоторые даже называют ее «уравнением Бога», ведь в ней сошлись вместе пять фундаментальных констант, пять самых важных чисел математики: 0 и 1 – начала всех арифметических начал, π, позволяющее постичь геометрию, e, открывающее врата во вселенную исчисления, и i, из которого произрастает древо алгебры.

В нем прекрасны и отношения между этими числами: сложение, умножение и возведение в степень – все то, что символизирует рост.

О ноле, единице и π мы уже кое-что знаем, самое время разобраться с иррациональным e и мнимым i. А когда разберемся, вы удивитесь, насколько простым вам покажется тождество Эйлера, буквально как 1 + 1 = 2 (ну или хотя бы как cos 180° = –1).

А вот еще несколько постоянных претендентов на корону самой красивой формулы. Большинство из них уже встречались вам на уже прочитанных страницах или скоро встретятся на непрочитанных. Первые два также рождены гением Леонарда Эйлера.

А вот еще несколько постоянных претендентов на корону самой красивой формулы. Большинство из них уже встречались вам на уже прочитанных страницах или скоро встретятся на непрочитанных. Первые два также рождены гением Леонарда Эйлера.

Мнимое число i: квадратный корень –1

Загадочная природа числа i кроется в формуле

На первый взгляд это кажется совершенно невозможным: разве может быть отрицательным число, умноженное несколько раз на само себя? В конце концов, даже 0² = 0, а любая возведенная в квадрат отрицательная величина обязана стать положительной, разве нет? Не спешите рубить с плеча. Вспомните, ведь было такое время, когда вы вообще ничего не знали об отрицательных числах, да и, узнав, вряд ли сразу же поверили в их существование (как и многие-многие математики до вас). Что это вообще за глупость – количество, меньшее, чем 0? Как что-то может быть меньше, чем ничто? Но потом в вашей жизни появляется некая ось (вроде той, что изображена чуть ниже), а вместе с ней – и все ее обитатели: положительные значения, расположившиеся справа от 0, и отрицательные значения, расположившиеся слева. В точно таком же, нестандартном ключе нам следует рассматривать и число i – тогда-то нам и откроется его истинное, реальное значение.

Число i считается мнимым – таким, которое при возведении в квадрат дает отрицательный результат. Мнимое число 2i, например, дает (2i)(2i) = 4i² = –4.

В алгебраическом смысле мнимые числа ничем не отличаются от чисел действительных. Судите сами:

Кстати, если взять и возвести в квадрат – i, получится тот же результат (–1), потому что (–i)(–i) = i² = –1. Не менее предсказуемы и последствия перемножения мнимого и действительного чисел – скажем, 3 × 2i = 6i.

А что со сложением? Чему, например, равна сумма 3 и 4i? Очевидно, что 3 + 4i, и дальше с этим ничего сделать нельзя (равно как и ничего нельзя сделать с 1 +√3). Числа, образованные по модели a + bi (где a и b суть действительные величины), называются комплексными. Получается, что любая величина, будь она действительной (при b = 0) или мнимой (при a = 0), есть, по своей сути, особая форма комплексного числа. То есть действительное π и мнимое 7i будут также комплексными.

Давайте попробуем разобраться в этом с помощью нескольких конкретных примеров. Начнем со сложения и вычитания:

Для умножения применим алгебраический метод FOIL, описанный в главе 2:

Для комплексного числа каждый квадратный многочлен ax² + bx + c будет иметь два корня (или же один, но повторяющийся). Согласно формуле корней квадратного уравнения, многочлен будет равен 0 всякий раз, когда

Помните, в главе 2 мы с вами говорили о том, что нельзя извлечь квадратный корень из отрицательной величины? Но ведь никакие квадратные корни отрицательных величин нам и не нужны. Смотрите сами: уравнение x² + 2x + 5, например, имеет корни

Кстати, формула корней квадратного уравнения будет верна даже при комплексных значениях a, b или c.

В любом квадратном многочлене мы можем найти как минимум один корень, пусть и комплексный. На этот счет есть своя теорема.

Теорема (основная теорема алгебры): Любой многочлен p(x), возводимый в первую или бо́льшую степень, имеет корень z при p(z) = 0.

Обратите внимание, что многочлен первой степени, вроде 3x – 6, может быть представлен как 3(x – 2), где 2 есть единственный корень 3x – 6. Обобщая, можно сказать, что при a ≠ 0 многочлен ax – b можно представить в виде a(x – (b/a)), где b/a будет являться корнем ax – b.

То же происходит и с многочленами второй степени: разложив ax² + bx + c до a(x – z1)(x – z2), мы получаем его корни – z1 и z2 (они вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной). И так можно продолжать до бесконечности – с любым многочленом любой степени.

Сопутствующая теорема: Любой многочлен степени n ≥ 1 может быть разложен на n составляющих. А именно: если p(x) есть многочлен n-ной степени, в котором главный член a ≠ 0, должно существовать n чисел z1, z2…., zn (которые вполне могут оказаться комплексными величинами, равно как и одной и той же величиной), соответствующих p(x) = a(x – z1)(x – z2)… (x – zn). Величины zi являются корнями многочлена при p(zi) = 0.

Теорема эта означает, что любой многочлен степени n ≥ 1 будет иметь как минимум один и как максимум n различных корней.

Например, x4 – 16 есть многочлен четвертой степени. Следовательно, его можно разложить как

из чего очень хорошо видно, что у него будет четыре различных корня: 2, –2, 2i, – 2i.

А вот многочлен третьей степени 3x³ +9x² –12 раскладывается так:

то есть имеет только два различных корня: –2 и 1.

Геометрия комплексных чисел

Комплексные числа можно представить в виде комплексной же плоскости. Выглядит она так же, как и алгебраическая система координат (x, y), только вместо оси y мы чертим некую мнимую ось, на которой расположены числа 0, ±i, ±2i и так далее. Вот как будут выглядеть на этой плоскости некоторые комплексные величины:

Только что мы выяснили, насколько легко складывать, вычитать и умножать числовые выражения комплексных величин. С их геометрическими представлениями работать ничуть не сложнее: достаточно просто взглянуть на соответствующие точки.

Возьмем, к примеру, сложение:

Посмотрите на график ниже: точки 0, 3 + 2i, 2 + 3i и –1 + i образуют параллелограмм.

Вы удивитесь, но его вполне достаточно, чтобы сложить комплексные числа z и w.

Для вычитания z – w возьмем третью точку – w, расположенную симметрично напротив w. А теперь просто сложим z и – w, как показано на графике:

Для умножения и деления нам понадобится измерить комплексные величины. Модулем (или длиной) любого комплексного числа считается длина отрезка от начала координат 0 до точки, соответствующей искомому числу. То есть модуль числа z (обозначается как |z|) есть расстояние от 0 до точки z. Если z = a + bi, тогда, согласно теореме Пифагора, модуль z будет равен