На графике ниже хорошо видно, что точка 3 + 2i имеет модуль √(3² + 2²) = √13. Обратите внимание, что для соответствующего этой точке угла θ tan θ = 2/3. Следовательно, θ = tan–12/3 ≈ 33,7° или примерно 0,588 рад.
Точки с модулем, равным 1, складываются в единичную окружность (см. график ниже). Чему будет равно комплексное число, образующее угол θ? Если бы мы находились в более привычной системе координат, нужная нам точка имела бы координаты (cos θ, sin θ) – это нам хорошо известно по предыдущей главе. Значит, здесь получаем cos θ + i sin θ. То есть любая комплексная величина с модулем R соответствует формуле
z = R(cos θ + i sin θ)что есть не что иное, как тригонометрическое представление этого числа. Забегу немного вперед: в конце главы мы выясним, что равно оно будет Reiθ.
А вот еще кое-что интересное: при перемножении комплексных чисел будут перемножаться и их модули.
Теорема: Для комплексных величин z1 и z2 |z1z2| = |z1| |z2|. Иными словами, модуль произведения есть произведение модулей.
Например,
|(3 + 2i)(1 – 3i)| = |9 – 7i| = √(9² + (–7)²)√130 = √13√10 = |3 + 2i| |1 – 3i|А что насчет угла, привязанного к произведению? Для обозначения угла, образованного комплексным z и «положительной» половиной оси x, обычно используется представление arg z. Так, arg (3 + 2i) = 0,588 рад. Аналогично arg (1 – 3i) = tan–1 (–3) = –71,56° = –1,249 рад, потому что значение 1 – 3i располагается в квадранте IV, а тангенс его угла θ равен –3.
Обратите внимание, что угол значений (3 + 2i)(1 – 3i) = (9 – 7i) имеет tan–1 (–7/9) = –37.87° = –0,661 рад, что есть 0,588 + (–1,249). И имеется теорема, которая доказывает, что это совсем не совпадение!
Теорема: Для комплексных величин z1 и z2 arg (z1z2) = arg (z1) + arg (z2). Другими словами, угол произведения есть сумма углов.
Доказательство этого (оно приведено в «отступлении») основано на некоторых тригонометрических тождествах, рассмотренных нами в предыдущей главе.
ОтступлениеДоказательство: Возьмем две комплексные величины z1 и z2, имеющие модули R1 и R2 и углы θ1 и θ2 соответственно. Записав их в тригонометрическом представлении, имеем
z1 = R1 (cos θ1 + i sin θ1)z2 = R2 (cos θ2 + i sin θ2)Тогда на основании тождеств cos (A + B) и sin (A + B)
z1 z2 = R1(cos θ1 + i sin θ1) R2(cos θ2 + i sin θ2) = R1 R2 [cos θ1 cos θ2 – sin θ1 sin θ2 + i(sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1)] = R1 R2 [cos(θ1 + θ2) + i(sin(θ1 + θ2))]Следовательно, z1z2 имеет модуль R1R2 (что нам уже известно) и угол θ1 + θ2, что и требовалось доказать.◻
Обобщим: чтобы умножить комплексные величины, нужно умножить их модули и сложить их углы. К примеру, при умножении некоего числа на i модуль останется прежним, а угол «вырастет» на 90°. Имейте в виду, что при перемножении двух действительных величин положительные числа будут иметь углы, равные 0° (или, что то же самое, 360°), а отрицательные – 180°. Два угла по 180° дадут в сумме 360° – еще одно доказательство, что произведение двух отрицательных величин есть величина положительная. Мнимые же числа имеют углы, равные либо 90°, либо –90° (или 270°). Следовательно, при умножении такого числа на само себя угол должен быть равен 180° (так как 90° + 90° = 180°, а –90° + –90° = –180°, что ничем не отличается от 180°), что соответствует отрицательной величине.
Ну и, наконец, возьмем число z с углом θ: 1/z должно иметь угол –θ. (Почему? Да потому что z · 1/z = 1, то есть z и 1/z должны в сумме давать 0°.)
Получается, что при делении комплексных чисел, мы делим их модули и вычитаем их углы: z1/z2 имеет модуль R1/R2 и угол θ1 – θ2.
Магия числа e
Если вдруг у вас под рукой есть профессиональный калькулятор, сделайте вот что:
1. Наберите на нем любое хорошо запоминающееся семизначное число (можно взять номер телефона, несколько цифр из номера паспорта или просто любимую цифру, повторенную семь раз).
2. Посчитайте обратную ему величину (для этого нужно нажать кнопку 1/x).
3. Прибавьте к нему единицу.
4. Возведите результат в степень, равную загаданному семизначному числу (нажимаете кнопку xy, вводите семь цифр и нажимаете «равно»).
Первые четыре цифры ответа – 2,718, да? Не удивлюсь даже, если у вас получится
e = 2,718281828459045…то есть цифр, совпадающих с иррациональным числом e, будет куда больше.
Так что это за мистическое e такое, в чем его секрет и зачем оно вообще нужно?
Ваши операции с калькулятором свелись, по сути, к
(1 + 1/n)nгде n и есть ваше семизначное число. Семь знаков – много, но что будет, если их будет еще больше? С одной стороны, число (1 + 1/n) будет все ближе и ближе подбираться к единице, которая при возведении в степень останется единицей. Следовательно, было бы разумным предположить, что при любом большом значении n (1 + 1/n)n будет приблизительно равно единице (например, 1,001100 ≈ 1,105).
С другой стороны, даже при больших значениях n результат (1 + 1/n) никогда не опустится ниже этой самой единицы. А при последовательном возведении такого числа во все бо́льшую и бо́льшую степень, увеличиваться будет и итог (скажем, 1,00110 000 будет больше 20 000).
Сложность здесь заключается в том, что «основа» (1 + 1/n) становится тем меньше, чем больше возрастает n. И это постоянное «перетягивание каната» между единицей и бесконечностью пододвигает ответ все ближе и ближе к e = 2,71828… (Так, 1,0011000 ≈ 2,717.)
Давайте посмотрим повнимательнее, как ведет себя функция (1 + 1/n)n при возрастающих значениях n:
Именно так и определяется число e: как величина, к которой приближается (1 + 1/n)n с возрастанием значения n. Математики называют ее пределом (1 + 1/n)n при n, стремящейся к бесконечности. Записывается это следующим образом:
Если заменить дробь 1/n на x/n, оговорившись, что x есть действительная величина, то с возрастанием n/x число (1 + x/n)n/x будет все больше приближаться к e. Возведя обе части этого уравнения в степень x (и вспомнив, что (ab)c = abc), мы приходим к экспоненциальной формуле:
где х – любое комплексное число. Вы удивитесь, но от этой формулы есть вполне себе практическая польза. Предположим, что вы открыли в банке накопительный счет под 6 % годовых (то есть ставка составит 0,06) и положили на него $10 000. Если процент начисляется раз в год, то через 365 дней у вас будет $10 000(1,06) = $10 600. Именно от этой суммы банк будет исчислять 6 % в следующем году: $10 000(1,06)² = $11 236. Через три года уравнение преобразуется в $10 000(1,06)³ = $11 910,16. Через t же лет – в
где х – любое комплексное число. Вы удивитесь, но от этой формулы есть вполне себе практическая польза. Предположим, что вы открыли в банке накопительный счет под 6 % годовых (то есть ставка составит 0,06) и положили на него $10 000. Если процент начисляется раз в год, то через 365 дней у вас будет $10 000(1,06) = $10 600. Именно от этой суммы банк будет исчислять 6 % в следующем году: $10 000(1,06)² = $11 236. Через три года уравнение преобразуется в $10 000(1,06)³ = $11 910,16. Через t же лет – в
$10 000(1,06)tЧтобы отследить общую закономерность, заменим ставку 0,06 ставкой r, а начальную сумму $10 000 суммой $P. Тогда через t лет вы смогли бы получить
$P(1 + r)tТеперь предположим, что проценты начисляются дважды в год: по 3 % каждые 6 месяцев. Через год на вашем счете будет лежать $10 000(1,03)² = $10 609 – немного больше, чем в прошлом случае.
С ежеквартальными (раз в три месяца) начислениями вы заработаете 4 раза по 1,5 %, то есть $10 000(1,015)4 = $10 613,63.
Давайте обобщим и это: при начислении процента n раз в год через 365 дней сумма ваших накоплений составит
При очень больших значениях n мы будем иметь дело с непрерывными начислениями процента. Согласно второму замечательному пределу, за год получится
Сведем все это в таблицу:
Иными словами, начав с $P, с непрерывными начислениями по ставке r через t лет вы получите $A. Все это выражается очень симпатичной во всех отношениях формулой
A = PertКак хорошо видно на графике, функция y = ex растет очень быстро. По соседству с ней мы изобразим графики e2x и e0,06x. Правда, похожи? Подобный рост называется ростом по экспоненте. Если же взять график y = e–x, то он очень быстро приближается к 0, то есть демонстрирует спад по экспоненте.
А что насчет графика 5x? Так как e < 5 < e², он должен лежать между ex и e2x. Если точнее, то e1,609… = 5, следовательно, 5x ≈ e1,609x. В целом же любую функцию ax можно представить в виде ekx, где k есть экспонента, соответствующая a = ek. А для того, чтобы найти k, нам понадобятся логарифмы.
Точно так же, как квадратный корень является обратным представлением квадратичной функции (то есть находится с ней во «взаимоотменяющих» отношениях), логарифм является обратным представлением показательной (экспоненциальной) функции. Наиболее часто используемый логарифм – десятичный (то есть по основанию 10), обозначаемый как lg x. Считается, что
y = lg x если 10y = xиз чего следует
10lg x = xНапример, так как 10² = 100, lg 100 будет равен 2. Вот очень полезная таблица логарифмов:
Одной из причин популярности логарифмов является их уникальная способность преобразовывать огромные значения в малые, куда более удобоваримые для человеческого ума. Логарифмы, в частности, используются при измерении и подсчете магнитуды землетрясения по шкале от 1 до 10 (да-да, это я о знаменитой шкале Рихтера), громкости звука (в децибелах), кислотности химических растворов (pH) и даже рейтинга посещаемости интернет-страниц (в алгоритме PageRank, придуманном корпорацией Google).
Что собой представляет lg 512? Любой профессиональный калькулятор (равно как и большинство поисковых систем в Интернете) скажет вам, что log 512 = 2,709…. Вполне похоже на правду: 512 находится между 10² и 10³, а значит, его логарифм должен быть больше 2, но меньше 3.
Логарифмы были изобретены для того, чтобы преобразовывать умножение в более простое сложение. Основано это на одной любопытной теореме.
Теорема: Для любых положительных значений x и y
log xy = log x + log yДругими словами, логарифм произведения равен сумме логарифмов.
Доказательство: Согласно правилам действий со степенями,
10lg x + lg y = 10lg x 10lg y = xy = 10lg xyСледовательно, возведение 10 в степень lg x + lg y дает xy, что и требовалось доказать.◻
Не менее полезно следующее правило.
Теорема: Для любого положительного значения x и любого целого значения n
log xn = n log xДоказательство: Согласно правилам действий со степенями, abc = (ab)c. Следовательно,
10n lg x = (10lg x)n = xnто есть логарифм xn равен n lg x.◻
Десятичный логарифм – штука вполне себе обычная, насколько вообще обычным может быть нечто столь активно использующееся в таких важных областях науки, как химия, физика или геология (справедливости ради все же следует упомянуть, что в информатике и дискретной математике предпочтение отдается логарифму с основанием 2). В целом же для любого значения b > 0 логарифм по основанию b logb определяется согласно следующему правилу
y = logb x если by = xТак, log2 32 = 5, потому что 25 = 32. А все уже рассмотренные нами свойства логарифмов соответствуют любому значению b. Так, например,
blogb x = xlogb xy = logb x + logb ylogb xn = n logb xВ большинстве разделов математики, физики и техники самым полезным считается логарифм по основанию b = e. Он называется натуральным и даже имеет свое специальное обозначение – ln x. То есть
y = ln x если ey = xИли же, для всех действительных значений x,
ln ex = xВаш калькулятор, например, может за долю секунды подсчитать, что ln 5 = 1,609…, однако это нам уже хорошо известно по тому, что e1,609 ≈ 5. Подробнее же о функциях натурального логарифма мы поговорим в главе 11.
ОтступлениеБольшинство профессиональных калькуляторов способно считать как натуральные, так и десятичные логарифмы. И лишь очень немногие ориентированы на другие значения b. Впрочем, проблемы тут никакой нет: одно основание довольно легко преобразовать в другое. Да-да, один логарифм является ключом ко всем остальным! На этот счет даже есть своя теорема, благодаря которой мы можем, например, взять логарифм по основанию 10 и найти его аналог по основанию b.
Теорема: Для любых положительных значений b и x
Доказательство: Предположим, что y = logb x. Тогда by = x. Прологарифмируем обе части: log by = log x. Согласно второму замечательному пределу, y log b = log x. Следовательно, y = (log x)/(log b), что и требовалось доказать.◻