Магия математики: Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин 25 стр.

logb x = (log x) / (log 2) = (log x) / (0,301…) ≈ 3,32 log x

Другие лики е

Как и число π, число e широко используется в математике. И, как и π, оно встречается подчас там, где вы совершенно не ожидаете его увидеть. Например, колоколообразная кривая, которую мы уже упоминали в главе 8, имеет формулу

а ее график, изображенный чуть ниже, – наверное, самый важный график в любом статистическом исследовании.

В той же главе 8 мы встречали e в формуле Стирлинга для множества n!:

Позже, в главе 11, на примере ex и бесконечной последовательности

мы увидим важную связь между числом e и факториальным многочленом.

В частности, при x = 1,

Не правда ли, очень легкий и быстрый способ определить цифры, составляющие число e?

Кстати, о цифрах… Вы наверняка уже заметили, что число e начинается с повторяющейся последовательности цифр

или, как любил повторять один мой преподаватель, «2,7 Эндрю Джексон, Эндрю Джексон», потому что седьмой президент США был избран именно в 1828 году. («Запоминалка» эта, кстати, отлично подходит и студентам-историкам: с помощью первых цифр числа e можно запомнить год избрания Джексона.)[33] Как тут не усомниться в иррациональной природе e? Ведь если бы последовательность 1828 повторялась бесконечно, e было бы обычным рациональным числом. Но нет, дальше идут 6 цифр… 459045… (лично я запомнил их как значения углов равнобедренного прямоугольного треугольника).

Вмешивается e и в вопросы вероятности. Предположим, что раз в неделю вы покупаете лотерейный билет с шансом выиграть приз 1 к 100. Какова вероятность того, что за 100 недель вы что-нибудь да выиграете? Каждую неделю ваш «коэффициент удачи» равен 1/100 = 0,01, а «коэффициент невезения» – 99/100 = 0,99. Так как количество билетов неограниченно (то есть удача на этой неделе никак не зависит от невезения на прошлой), за весь срок получаем

что очень близко

Нет, это не совпадение. Вспомните формулу, в которой мы впервые увидели ex:

Если мы положим x = –1, то при любом большом значении n получим

Когда n = 100, (0,99)100 будет примерно равно 1/e. То есть ваши шансы выиграть приз за 100 недель составляют 1 – (1/e) ≈ 64 %.

Одна из самых моих любимых задач, связанных с вероятностью, – задача о сочетании пар. Представьте себе класс, состоящий из n учеников. Учитель раздает им тетрадки с проверенным домашним заданием. Но то ли по рассеянности, то ли от усталости раздает он их как попало, в случайном порядке (то есть тетрадка может попасть как к своему хозяину, так и к любому другому ученику). Каков шанс того, что ни одна из тетрадок не попадет в «правильные» руки? Иными словами, если мы возьмем все числа от 1 до n и «перемешаем» их в произвольном порядке, какова вероятность того, что ни одно из них не совпадет со своей «правильной» позицией? Например, при n = 3 чи́сла 1, 2 и 3 можно «перемешать» 3! = 6 разными способами, но под наши условия подходят только два из них: 231 и 312. Следовательно, для n = 3 нужная нам вероятность составит 2 к 6 или 1 к 3.

С количеством тетрадей, равным n, существует n! возможных способов распределения их между учениками. Количество тех из них, которые соответствуют нашим условиям, обозначим как Dn. Тогда шанс того, что никто из учеников не получит свою тетрадку, составит pn = Dn/n!. Если n равно 4, то Dn будет равно 9:

И тогда p4 = D4/4! = 9/24 = 0,375.

А вот каковы вероятности для других значений n:

С увеличением n значение pn будет все ближе и ближе подбираться к 1/e. И вот что самое удивительное: вероятность попадания тетрадок в руки их законных хозяев совершенно не зависит от количества учеников в классе, будь их десять, сто или миллион. И вероятность эта эти очень-очень близка к величине 1/e.

Но откуда берется это 1/e? В первом нашем представлении, с числом учеников, равным n, возможность каждого из них получить свою тетрадь составляет 1/n, а возможность получить чужую – 1 – (1/n). Возьмем последнюю величину и распространим ее на весь класс:

Почему приблизительно, спросите вы? Да потому что здесь, в отличие от задачи с лотерейными билетами, мы не сталкиваемся с последовательностью независимых друг от друга событий. Количество тетрадок ограничено, поэтому первое же «попадание» учителя в цель немного увеличит шансы второго ученика получить чужую тетрадку (то есть вместо 1/n мы будем иметь уже 1/(n – 1)), а первый же «промах» – немного уменьшит. Но так как и в том и в другом случае вероятность изменяется незначительно, на верности нашего представления это не слишком сказывается.

Точное же значение pn основывается на бесконечной последовательности для ex:

Если в этом уравнении мы подставим x = –1, у нас получится

То есть в классе, состоящем из n учеников, вероятность того, что никто из них не получит свою тетрадь, составляет ровно

Например, если n = 4, pn = 1 – 1 + 1/2 – 1/6 + 1/24 = 9/24 – ответ, к которому мы уже приходили выше. Приближение к 1/e здесь невероятно стремительно. Промежуток между pn и 1/e меньше, чем 1/(n + 1)!. Следовательно, значение p4 находится в диапазоне от 1/5! = 0,0083 до 1/e, значение p10 совпадает с 1/e вплоть до 7 знаков после запятой, а значение p100 – вплоть до 150 знаков!

Теорема: Число e является иррациональным.

Доказательство: Предположим обратное – что число e является рациональным. Тогда при положительных целых значениях m и n будет верно то, что e = m/n. С помощью n разобьем бесконечную последовательность для e на две части – так, чтобы e было равно L + R, то есть

Обратите внимание, что n!e = en(n–1)! = m(n–1)! должно быть целой величиной (потому что и m, и (n – 1)! суть целые величины), равно как и n!L (потому что n!/k! есть целая величина при любом k ≤ n). Следовательно, n!R = n!e – n!L представляет собой разность двух целых чисел, а значит, и само является целым числом, что невозможно: поскольку условие, что n ≥ 1, означает, что

Не существует целых величин меньше 1, поэтому мы не можем считать n!R целым числом. Значит, наше предположение, что e = m/n, ведет к противоречию, из чего следует, что число e – иррациональное.◻

Уравнение Эйлера

Число e было открыто и введено в оборот великим математиком Леонардом Эйлером. И именно Эйлер впервые обозначил его буквой e. Но, как полагает большинство специалистов по истории математики, вовсе не потому, что это была первая буква его фамилии[34]. Тем не менее e до сих пор достаточно часто называют «числом Эйлера».

Нам уже встречались бесконечные последовательности для функций ex, cos x и sin x. Откуда они берутся, мы узнаем в следующей главе. Сейчас же просто соберем их в одном месте:

Считалось, что эти формулы работают при любых действительных значениях x. Эйлеру же хватило дерзости предположить, что они будут истинны и при мнимых значениях х. Задавшись вопросом, что произойдет, если возвести число в степень мнимого числа, он сформулировал свою известную теорему.

Нам уже встречались бесконечные последовательности для функций ex, cos x и sin x. Откуда они берутся, мы узнаем в следующей главе. Сейчас же просто соберем их в одном месте:

Считалось, что эти формулы работают при любых действительных значениях x. Эйлеру же хватило дерзости предположить, что они будут истинны и при мнимых значениях х. Задавшись вопросом, что произойдет, если возвести число в степень мнимого числа, он сформулировал свою известную теорему.

Теорема Эйлера: Для любого значения угла θ (выраженного в радианах)

Доказательство: Посмотрим, что будет происходить с последовательностью для ex при x = iθ:

Обратите внимание на поведение i при возведении его в последовательные степени: i0 = 1, i1 = i, i2 = –1, i3 = –i (последнее потому, что i3 = i2i = –i). Затем закономерность повторяется: i4 = 1, i5 = i, i6 = –1, i7 = –i, i8 = 1 и т. д. Еще более пристальное внимание следует обратить на то, что среди полученных результатов последовательно чередуются действительные и мнимые величины, что дает нам возможность выносить число i за скобки при каждом втором шаге:

Это приводит нас к доказательству «уравнения Бога», с которого мы начинали эту главу. Приняв θ = π рад (или 180°), мы получим

Но это далеко не все, о чем говорит нам теорема Эйлера. Мы уже встречались с cos θ + i sin θ – это есть точка на единичной окружности, лежащей на комплексной плоскости. Вместе с «положительной» половиной оси x она образует угол θ. Так вот, с помощью теоремы Эйлера эту точку можно представить очень простым способом – таким, какой показан на графике

Но и это еще не все! Любая точка комплексной плоскости имеет на окружности свое соответствие. А именно комплексная величина z с модулем R и углом θ представляет собой некую в R раз увеличенную точку, лежащую на окружности. Другими словами,

Следовательно, если у нас на комплексной плоскости есть две точки z1 = R1eiθ1 и z2 = R2eiθ2, то, согласно правилам действий со степенями (в версии, касающейся комплексных величин)

что является комплексным числом с модулем R1R2 и углом θ1 + θ2. И снова мы приходим к выводу, что произведение комплексных величин – это, по сути, произведение их модулей и сумма их углов. Только согласитесь: теорема Эйлера и число e приводят нас к этому умозаключению куда безболезненнее и быстрее, чем наше предыдущее – длиной в целую страницу – алгебраическо-тригонометрическое доказательство.

Давайте же восславим число e уже ставшим привычным для нас способом (и да простит нас Джойс Килмер[35]):

Глава номер одиннадцать Магия исчисления

Касательно касательных

Математика – это язык, на котором говорит наука. Стоит ли удивляться, что большинство законов природы описываются с помощью математического алфавита? Исчисление – один из способов познать суть вещей, то, как они изменяются, развиваются, движутся. Эту главу мы посвятим измерению скорости, с которой изменяются функции, и изучению теории приближений – примерной оценки (аппроксимации) сложных и простых полиномиальных функций (многочленов). А еще исчисление – мощное средство оптимизации. Это наиболее эффективный способ подобрать такие величины и порядок работы с ними, которые дадут оптимальный результат. (Например, если мы планируем доходы или надеемся выжать максимум при минимуме затраченных усилий, результат должен быть наибольшим, а если хотим сэкономить или ищем кратчайший путь из точки А в точку Б, – наименьшим.)

Предположим, что у вас есть лист картона размером 12 на 12 см (см. рисунок). Наша задача – сделать из него лоток, для чего нам нужно от каждого из четырех углов отрезать по квадратику размером x на x сантиметров. Чему должен быть равен x, чтобы у нас получился максимально вместительный лоток?

Представим объем как функцию x. Площадь основания лотка равна (12 – 2x)(12 – 2x), а высота его стенок – x. Значит, объем можно посчитать как

кубических сантиметров. Значение x должно быть таким, чтобы значение V было максимальным. Однако в крайности впадать не следует: при x = 0 или x = 6 объем лотка будет нулевым. Значит, оптимальный результат лежит где-то между этими двумя значениями.

Попробуем графический подход – визуализируем функцию y = (12 – 2x)²x для значений x в диапазоне от 1 до 6. При x = 1 объем составит y = 100; при x = 2 – y = 128; при x = 3 – y = 108. Значение x = 2 выглядит многообещающе, но что, если в диапазоне от 1 до 3 есть другая действительная величина, которая подойдет нам еще лучше?

Влево от максимума функция растет, вправо – уменьшается. Слева значение ее наклона положительное, справа – отрицательное. В самой верхней точке не происходит ничего – функция в ней словно застыла в нерешительности, выбирая, куда направиться: вверх или все-таки вниз. Поэтому через нее можно смело провести горизонтальную (то есть с нулевым наклоном) касательную. Именно ее – такую оптимальную точку – мы и будем искать в этой главе.

А заодно мы коснемся касательных, и для этого нам придется среза́ть углы, причем не только в переносном, но и вполне себе прямом (как мы это делали только что в задачке про лоток) смысле.

Исчисление – штука непростая и громоздкая: у вас вряд ли получится найти по ней учебник меньше, чем на тысячу страниц. В нашем же распоряжении их едва ли больше 20, поэтому единственное, что мы успеем – так это чуть-чуть посветить спичкой в темной комнате. Все, что нам предстоит увидеть, – дифференциальный аспект исчисления, касающийся функций; интегральную же сторону, необходимую для того, чтобы подсчитывать площади и объемы сложных объектов, придется оставить пылиться в углу.

Начнем с самого простого – функций, представленных прямыми. В главе 2 мы уже говорили о том, что наклон графика линейной функции y = mx + b равен m. Следовательно, при росте значения x на единицу y будет увеличиваться на m. Допустим, наклон y = 2x + 3 равен 2. Увеличив x на 1 (скажем, с x = 10 до x = 11), мы тем самым увеличим y на 2 (то есть с 23 до 25).

На графике ниже проведено несколько разных линий. Диагональная функция y = –x имеет наклон –1, а горизонтальная y = 5 – наклон 0.

Задав две точки, мы можем провести через них прямую. Ее наклон можно определить, не прибегая к формуле самой прямой, – достаточно взять координаты точек (x1, y1) и (x2, y2) и вставить их в уравнение

позволяющее узнать отношение приращения функции к приращению аргумента.