В 1673 году почтенный немецкий юрист и философ посетил Лондон. Его имя было Готфрид Вильгельм Лейбниц. Они с Ньютоном едва не разорвали пополам научный мир, хотя ни один из них не мог разрешить проблему ноля, которой был пронизан математический анализ.
Никто не знает, не ознакомился ли во время визита в Англию тридцатитрехлетний Лейбниц с неопубликованной работой Ньютона. Однако между 1673 и 1676 годами, когда Лейбниц в следующий раз посетил Лондон, он тоже создал анализ, хотя и в несколько иной форме.
Глядя назад, можно заключить, что Лейбниц сформулировал свою версию независимо от Ньютона, хотя споры по этому поводу не прекращаются. Двое ученых в 1670-е годы вели переписку, так что очень трудно определить, как они влияли друг на друга. Впрочем, хотя две теории дают одинаковые ответы, условные обозначения — и философия — очень разнятся.
Ньютон не любил бесконечно малые величины, маленькие о в его флюксиях иногда вели себя как ноль, а иногда — как отличные от ноля числа. В определенном смысле эти бесконечно малые были бесконечно малы, меньше любого положительного числа, но все же каким-то образом больше ноля. Для математиков того времени это была смешная концепция.
Ньютона смущали бесконечно малые в его уравнениях, и он заметал их под ковер. Маленькие о в его уравнениях были всего лишь посредниками, костылями, которые чудесным образом исчезали к концу выкладок. С другой стороны, Лейбниц наслаждался бесконечно малыми. Там, где Ньютон писал о x́, Лейбниц писал dx — бесконечно малый кусочек x. Бесконечно малые выжили без изменений во всех расчетах Лейбница; действительно, производная от y по x было не свободным от бесконечно малых отношением флюксий ý / x́, а отношением бесконечно малых dy / dx.
В исчислении Лейбница с этими dy и dx можно было обращаться как с обычными числами, поэтому современные математики и физики обычно используют обозначения Лейбница, а не Ньютона. Дифференциальное исчисление Лейбница обладало той же силой, что и метод Ньютона, а благодаря обозначениям даже несколько большей. Тем не менее под всеми математическими ухищрениями дифференциалы Лейбница имели ту же запретную природу 0 / 0, которая вредила флюксиям Ньютона. До тех пор, пока сохранялся этот недостаток, исчисление продолжало основываться скорее на вере, чем на логике. (На самом деле вера очень сильно влияла на Лейбница, когда он создавал новые математические методы, например двоичную систему счисления. Любое число могло быть записано как ряд нолей и единиц. Для Лейбница это было созданием ex nihilo, созданием Вселенной из ничего, большего, чем Бог / 1 и пустоты / 0. Лейбниц даже пытался убедить иезуитов использовать это знание для обращения китайцев в христианство.)
Должно было пройти много лет, прежде чем математики начали освобождать математический анализ от его мистических обоснований, потому что математический мир был занят спорами по поводу того, кто его изобрел.
Едва ли можно сомневаться в том, что первым — в 1660-х годах — идею высказал Ньютон, однако он не публиковал свою работу в течение двадцати лет. Ньютон был магом, теологом, алхимиком, а не только ученым (например, он использовал библейские тексты для заключения о том, что второе пришествие Христа случится примерно в 2060 году), и многие его взгляды носили еретический характер. В результате он был склонен к хранению секретов и неохотно публиковал свои работы. Тем временем, пока Ньютон держал свое открытие в тайне, Лейбниц разработал собственную теорию. Двое ученых тут же обвинили друг друга в плагиате, и английское математическое сообщество, поддерживавшее Ньютона, отвернулось от континентальных математиков, поддерживавших Лейбница. В результате англичане держались за ньютоновские флюксии и не принимали более удобного обозначения дифференциалов Лейбница — назло себе. Когда дело дошло до развития математического анализа, английские математики сильно отстали от континентальных.
Именно француз, а не англичанин был первым, кто запустил зубы в таинственные ноли и бесконечность, пронизывавшие математический анализ; теперь математики узнают о правиле Лопиталя, начиная изучать дифференциальное исчисление. Как ни странно, не Лопиталь создал правило, которое теперь носит его имя.
Родившийся в 1661 году Гийом-Франсуа-Антуан де Лопиталь был маркизом и очень богатым человеком. Он рано начал интересоваться математикой, и хотя некоторое время прослужил в армии, сделавшись капитаном кавалерии, снова вернулся к своей первой любви — математике.
Лопиталь нанял себе лучшего учителя, какого только можно было нанять за деньги, — Иоганна Бернулли, швейцарского математика, одного из первых, кто освоил лейбницевское исчисление бесконечно малых. В 1692 году Бернулли обучил Лопиталя анализу. Лопиталь так увлекся новым математическим методом, что побудил Бернулли за деньги сообщить ему обо всех новых математических открытиях, чтобы маркиз мог делать с ними, что пожелает. В результате был создан учебник. В 1696 году Лопиталь издал «Анализ бесконечно малых». Эта книга стала первым учебником математического анализа и познакомила с лейбницевской версией дифференциального исчисления большую часть Европы. Лопиталь не только изложил основы анализа, но и добавил некоторые важные новые результаты. Самое знаменитое новшество стало известно как правило Лопиталя.
Правило Лопиталя нанесло первый удар по тревожащим математиков выражениям 0 / 0, постоянно встречавшимся в математическом анализе. Правило дало способ определять истинную величину математических функций, стремящихся к 0 / 0 в данной точке. Правило Лопиталя гласит, что значение отношения функций равно производной верхнего выражения, деленному на производную нижнего выражения. Например, рассмотрим выражение x / (sin x), когда x = 0. При x = 0 sin x = 0, так что выражение принимает вид 0 / 0. Используя правило Лопиталя, мы увидим, что выражение стремится к 1 / (cos x), поскольку производная x — это 1, а производная sin x — это cos x. При x = 0 cos x равен 1, так что все выражение равно 1 / 1 = 1. Ловкие манипуляции могли также позволить с использованием правила Лопиталя разрешать и другие странные вопросы: ∞ / ∞, 0 / 0, 0 / ∞, ∞0.
Все эти выражения, но особенно 0 / 0, могли бы принимать любые значения, какие только пожелаете, в зависимости от того, какие функции вы поставите в числитель и в знаменатель. Поэтому-то 0 / 0 и назвали неопределенностью. Это теперь не было полной тайной, математики могли получить некоторую информацию о 0 / 0, если подходили к делу очень осторожно. Ноль больше не был врагом, которого следовало избегать, это была подлежащая изучению загадка.
Вскоре после смерти Лопиталя в 1704 году Бернулли начал утверждать, что тот украл его работу. В то время математическое сообщество отвергло претензии Бернулли: не только Лопиталь проявил себя как умелый математик; Иоганн Бернулли имел запятнанную репутацию. Он уже раньше пытался приписать себе заслугу другого математического доказательства (другим математиком был его брат, Якоб Бернулли). В данном случае, однако, претензии Иоган на Бернулли были обоснованны: это подтверждалось его перепиской с Лопиталем. К огорчению Бернулли, название «правило Лопиталя» прижилось.
Это правило было чрезвычайно важным для разрешения трудностей с 0 / 0, однако лежащая в их основе проблема оставалась. Новая математика Ньютона и Лейбница зависит от деления на ноль и от чисел, которые чудесным образом исчезают при возведении в квадрат. С помощью правила Лопиталя 0 / 0 исследуется инструментами, изначально опирающимися на 0 / 0. Эти аргументы — замкнутый круг. Физики и математики по всему миру начали использовать математический анализ для изучения природы, а концепцию абсолютного пространства — для объяснения движения — под крики протеста со стороны Церкви.
В 1734 году, через 7 лет после смерти Ньютона, ирландский епископ Джордж Беркли написал книгу под названием «Аналитик, или рассуждение, адресованное неверующему математику». (Под неверующим математиком, вероятнее всего, подразумевался Эдмунд Галлей, всегда поддерживавший Ньютона.) В «Аналитике» Беркли обрушился на грязные трюки с нолем Ньютона и Лейбница.
Называя бесконечно малые «призраками исчезнувших величин», Беркли показал, что безнаказанное исчезновение этих бесконечно малых ведет к противоречию. Он заключал: «Разве математики, столь чувствительные в вопросах религии, строго скрупулезны в своей собственной науке?»
Хотя математики того времени язвили по поводу логики Беркли, славный епископ был совершенно прав. В те дни исчисление было очень отлично от других областей математики. Каждая теорема в геометрии строго доказывалась. Позаимствовав несколько правил у Евклида и тщательно, шаг за шагом продвигаясь вперед, математик мог доказать, что углы треугольника в сумме равны 180 градусам, или любой другой геометрический факт. С другой стороны, анализ основывался на вере.
Хотя математики того времени язвили по поводу логики Беркли, славный епископ был совершенно прав. В те дни исчисление было очень отлично от других областей математики. Каждая теорема в геометрии строго доказывалась. Позаимствовав несколько правил у Евклида и тщательно, шаг за шагом продвигаясь вперед, математик мог доказать, что углы треугольника в сумме равны 180 градусам, или любой другой геометрический факт. С другой стороны, анализ основывался на вере.
Никто не мог объяснить, как при возведении в квадрат исчезают бесконечно малые. Этот факт просто принимался потому, что, заставив их исчезнуть в нужный момент, математики получали правильный результат. Никого не беспокоило деление на ноль, раз удобное игнорирование правил математики объясняло все — от падения яблока до орбит планет на небе. Хотя анализ давал правильные результаты, его использование было таким же актом веры, как вера в Бога.
Конец мистицизма
Под сенью Французской революции мистика была изгнала из математического анализа.
Несмотря на шаткие основания, к концу XVIII века математики по всей Европе достигли поразительных успехов, используя новый инструмент. Колин Макларен и Брук Тейлор, возможно, лучшие английские математики эры изоляции от континента, обнаружили, как использовать исчисление для того, чтобы записывать функции в совершенно новом виде. Например, используя некоторые уловки, математики обнаружили, что функция 1 / (1 — x) может быть записана как 1 + x + x2 + x3 + x4 +… Хотя два выражения выглядят совершенно разными, они (с некоторыми пояснениями) — в точности одно и то же.
Эти пояснения, вытекающие из свойств ноля и бесконечности, могут оказаться очень важными. Швейцарский ученый Леонард Эйлер, вдохновленный простыми манипуляциями с нолем и бесконечностью в исчислении, используя те же рассуждения, что и Макларен и Тейлор, «доказал», что сумма… 1 / x3 + 1 / x2 + 1 / x + 1 + x + x2 + x3 + x4 +… равна нолю. (Чтобы убедиться, что тут что-то не то, подставьте в качестве x число 1 и посмотрите, что получится.) Эйлер был прекрасный математик — он был одним из самых плодовитых и влиятельных ученых в истории, но в этом случае небрежное обращение с нолем и бесконечностью заставило его сделать ошибку.
Тем, кто наконец укротил ноли и бесконечность, оказался подкидыш; в 1717 году на ступенях «Круглой церкви Святого Иоанна» (Saint Jean Baptiste le Rond) в Париже был найден младенец. В память об этом ребенка назвали Жан Лерон. Со временем он взял фамилию Д’Аламбер. Хотя ребенок был воспитан в бедной рабочей семье — его приемный отец был стекольщиком, как выяснилось, его отцом являлся генерал, а матерью — аристократка.
Д’Аламбер наиболее знаменит своим двадцатилетним участием совместно с Дени Дидро в создании «Энциклопедии наук, искусств и ремесел». Однако Д’Аламбер был больше, чем энциклопедистом. Именно он осознал, как важно рассмотреть путь, а не только пункт назначения. Именно Д’Аламберу принадлежит идея предела и разрешение существовавшей в исчислении проблемы ноля.
Рассмотрим еще раз историю Ахиллеса и черепахи — сумму шагов, все больше и больше приближающихся к нолю. Манипуляции с суммой бесконечного числа слагаемых — будь это проблема Ахиллеса, нахождение площади, ограниченной кривой, или альтернативное представление математической функции — заставили математиков прийти к противоречивому результату.
Д’Аламбер понял, что проблема Ахиллеса решается, если рассмотреть предел этой гонки. В приведенном выше примере с каждым шагом черепаха и Ахиллес приближаются к отметке в два фута. Ни один шаг не позволяет им продвинуться дальше и даже не позволяет им поравняться. В каждый момент они делаются ближе к указанной отметке. Таким образом, предел гонки — окончательный пункт назначения — и есть отметка в 2 фута. Именно там Ахиллес перегонит черепаху.
Однако как доказать, что 2 фута — на самом деле предел гонки? Я бросаю вам вызов. Задайте мне маленькое расстояние — сколь угодно малое, и я скажу вам, когда и Ахиллеса, и черепаху будет отделять от предела расстояние меньшее, чем заданное.
Например, пусть вы задали мне расстояние в одну тысячную фута. После некоторых вычислений я скажу вам, что после одиннадцатого шага Ахиллес окажется в 977 миллионных от отметки в 2 фута, а черепаха — в половине этого расстояния. Я принял ваш вызов и выиграл, имея даже 23 миллионных фута в запасе. Что было бы, если бы вы назвали расстояние в одну миллиардную фута? После 31 шага Ахиллес был бы в 931 триллионной от цели — на 69 триллионных ближе, чем требовалось, а черепаха снова в половине этого расстояния. Каков бы ни был ваш вызов, я выиграю, назвав вам момент, в который Ахиллес будет ближе к цели, чем вы потребовали. Это показывает, что действительно Ахиллес в процессе гонки как угодно близко подбегает к отметке в два фута: два фута — это предел гонки.
Теперь вместо того, чтобы думать о гонке как о сумме бесконечного числа шагов, представьте ее себе как предел конечных частичных гонок. Например, в первой из них Ахиллес добегает до отметки в один фут. Всего при этом он пробегает один фут. В следующей частичной гонке он пробегает две части — сначала один фут, потом еще полфута. Всего он пробегает 1 + 1 / 2 — всего 1,5 фута. Третья частичная гонка приведет его на 1 + 1 / 2 + 1 / 4 — всего на 1,75 фута. Каждая из этих частичных гонок конечна и ясно определена, и мы никогда не сталкиваемся с бесконечностью.
То, что Даламбер сделал неформально и что позднее формализировали француз Огюст Коши, чех Бернард Больцано и немец Карл Вейерштрасс, заключалось в том, что бесконечная сумма 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ 1/2n +… была записана как выражение lim (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ 1/2n) при n, стремящемся к бесконечности. Это очень хитроумное изменение в записи, но в нем заключена вся разница.
Когда в выражении присутствует бесконечность или когда мы делим на ноль, все математические операции, даже такие простые, как сложение, вычитание, умножение и деление, оказываются все закона. Все делается бессмысленным, так что когда вы имеете дело с бесконечным рядом членов, даже знак + делается не таким уж однозначным. Поэтому-то сумма бесконечного числа +1 и –1, как мы видели в начале главы, одновременно равна 0 и 1.
Однако поставив перед рядом знак lim, вы отделяете процесс от его цели. Таким образом, вы избегаете манипулирования бесконечностью и нолями. Так же, как в случае Ахиллеса, каждая из частичных гонок конечна, конечна и каждая частичная сумма под знаком lim. Их можно складывать, делить, возводить в квадрат — делать с ними все что угодно. Правила математики работают, потому что все объекты конечны. Затем, после того как все манипуляции завершены, вы находите предел: экстраполируете и находите, к чему выражение стремится.
Иногда предела не существует. Например, сумма бесконечного числа +1 и –1 предела не имеет. Величина частичных сумм колеблется между 0 и 1; ряд не стремится к предсказуемому значению. Однако в случае гонки между Ахиллесом и черепахой частичные суммы составляют 1; 1,5; 1,75; 1,875; 1,9375 и т.д. — они оказываются все ближе и ближе к 2. Суммы имеют пункт прибытия — предел.
То же самое происходит при нахождении производной. Вместо того чтобы делить на ноль, как делали Ньютон и Лейбниц, современные математики делят на число, которому они позволяют стремиться к нолю. Они производят деление — совершенно законно, поскольку в операции не участвует ноль, — а потом находят предел. Жульнические уловки с исчезновением возведенных в квадрат бесконечно малых, а затем делением на ноль, чтобы найти производную, больше не нужны (см. Приложение С).
Такая логика может показаться мелочной и как аргумент столь же мистической, как «призраки» Ньютона, но на самом деле это не так. Она удовлетворяет жесткому требованию математиками логической строгости. Концепция пределом обладает твердым и последовательным основанием. На самом деле можно распроститься с приведенным выше обсуждением «вызова»: существуют и другие способы определения предела. Можно назвать его схождением двух чисел, предела сверху и предела снизу. (У меня есть замечательное доказательство этого, но, увы, эта книга слишком мала, чтобы оно могло в ней поместиться.) Поскольку пределы логически безупречны, производная, определенная в терминах пределов, тоже делается логически безупречной, и исчисление получает надежный фундамент.