1) разработка различных вариантов, схем, модификаций тепловой трубы и других составляющих конструкции с целью подбора универсального варианта под различные типы компьютерных сборок;
2) разработка варианта промышленного образца с оптимальным сочетанием «цена, качество»;
3) анализ возможностей применения в практике конструирования всех компонентов метода системной технологии;
4) разработка системной философии конструирования (проектирования).
• Положения системной философии могут быть применены для решения математических задач.
Рассмотрим пример системной технологии решения для широко известной «задачи о коммивояжере» (ЗОК)[91] . Этот пример выбран по той простой причине, что в нем сочетается простота и понятность постановки задачи со сложностью нахождения точного или приемлемого для практики решения. Постановка ЗОК выглядит следующим образом. Имеется n пунктов, в одном из которых находится коммивояжер. Все эти пункты коммивояжер должен посетить и вернуться для отчета в исходный пункт. Расстояния между ними известны. Требуется найти маршрут коммивояжера, при котором суммарное расстояние, которое он пройдет, будет наименьшим из всех возможных. Эту задачу постоянно решает любой путешественник, собирающийся посетить несколько городов. Вместо расстояний между городами можно взять стоимости проезда теми видами транспорта, которыми можно воспользоваться при переезде из одного города в другой. Вместо городов могут присутствовать операции технологического цикла, а вместо расстояний – время, необходимое для перехода от одной операции к другой. К задаче коммивояжера в формальном виде сводятся многие задачи управления, экономики, планирования и организации. Решить ЗОК простым перебором для больших n практически невозможно, так как число возможных решений равно (n-1)! или «(n-1) факториал».
Применение принципа обогащения к решению ЗОК позволяет построить эффективную технологию. В этом случае технология решения состоит из двух основных алгоритмов. Первый алгоритм позволяет обогатить исходный массив данных, исключая из него те «расстояния», которые не могут участвовать в оптимальном маршруте. Второй алгоритм позволяет найти оптимальный (или близкий к оптимальному) маршрут коммивояжера. Задача поставлена и решена, как известная задача теории графов о нахождении оптимального гамильтонова цикла в графе[92] .
Для оптимального гамильтонова цикла справедливо следующее условие оптимальности: для любого простого маршрута, являющегося участком оптимального гамильтонова цикла и проходящего вершины графа в последовательности i1, i2, i3, ...,ia, (a=4,5, ...,n; il=1,2, ..., n) сумма весов входящих в него ребер ? (i1i2i3 ..., ia) является минимальной в сравнении с любой другой суммой вида ? (i1i?2i?3...i?a-1ia):
? ( i1i2i3...ia) = min ? (i1i?2i?3...i?a-1ia) (1)
при a =4, 5, ..., n; i=1,2, ..., n; i?2, i?3,..., i?a-1, ?P.
Здесь i?2, i?3,..., i?a-1 — одна из перестановок чисел i2, i3, ..., ia-1, P — множество всех перестановок этих чисел.
Очевидно, что если это условие не выполняется для каких-либо значений a и i, то существует гамильтонов цикл с меньшей длиной пути обхода вершин i1, i2, i3, ..., ia-1,ia. Но, если полученный гамильтонов цикл оптимален, то его нельзя улучшить изменением пути обхода вершин i1, i2, i3, ..., ia для любого a, имеющего значения в пределах от 4-х до n.
Значения a не могут быть меньше четырех, так как очевидно, что никакие два гамильтонова цикла не могут отличаться менее, чем тремя ребрами, проходящими четыре вершины поcледовательно в одном из двух возможных вариантов обхода: i1,i2,i3,i4 или i1,i3,i2,i4.
Пусть оптимальный гамильтонов цикл обходит вершины графа в последовательности
i1, i2, i3, ..., in, i1. (1.а)
Гамильтонов цикл, оптимальный для определенного значения a, назовем a-оптимальным. Для a = 4 справедливо неравенство:
? (ikik+1) + ? (ik+1ik+2) + ? (ik+2ik+3) ? ? (ikik+2) + ? (ik+2ik+1) + ? (ik+1ik+3). (2)
Условие (2) необходимо проверить для всех ik = i1, i2, ..., in и, если оно для всех ik справедливо, то это необходимое и достаточное условие того, что гамильтонов цикл 4-оптимален. Просуммировав левые и правые части неравенств, получающихся при значениях ik = i1, i2, ..., in, получаем необходимое условие 4-оптимальности в виде:
Если гамильтонов цикл a1-оптимален, то он a2-оптимален для любого a2<a1. Если это условие не выполняется, т.е. a1-оптимальный гамильтонов цикл не является a2-оптимальным, то какой-то из простых путей длины a1 можно улучшить изменением обхода каких-то a2 вершин, что противоречит условия a1-оптимальности.
Перейдем к определению условия a-оптимальности, получаемого аналогично тому, как условие (З) получено из (2), из системы неравенств вида (2), для любого a=const суммированием для всех ik=1, 2, ..., n
При этом мы полагаем, что
? (ik,ik+1, ..., ik+a-1) = ? (ik, ik+1) + ? (ik+1ik+2) + ... + ? (ik+a-2 ik+a-1).
? (ik, i?k+1, ..., i?k+a-2, ik+a-1) = ? (ik, i?k+1) + ? (i?k+1, i?k+2) + ... + ? (i?k+a-2, ik+a-1).
Обозначим левую и правую части условия (4) буквами А и В, соответственно: А ? В.
В левой части неравенства вес каждого ребра, принадлежащего проверяемому участку гамильтонова цикла, участвует точно по одному разу в каждом неравенстве системы из ((a-2)!-1) неравенств, задаваемых перестановками, принадлежащими множеству Р, при фиксированной начальной вершине.
Кроме этого, при заданном a=const, если производить проверку выполнения условия (9.2.4), изменяя последовательно номер начальной вершины от i1 до in, то любое ребро гамильтонова цикла появится точно в (a-1) системах из этих ((a-2)!-1) неравенств как первое по счету, второе, третье и т.д. (a-1)-e ребро в проверяемых участках гамильтонова цикла.
Следовательно, левая часть неравенства (4) имеет вид:
Очевидно, что число появлений пар (iс, ic+N) в правых частях неравенств вида (4) равно числу появлений пар (ic, ic+N) в последовательностях:
ik, i?k+1, i?k+2, ..., i?k+a-2, ik+a-1 (5)
задаваемых (a-2)! перестановками чисел i?k+1, i?k+2, ..., i?k+a-2.
Следует учесть также, что одна из этих последовательностей, а именно i1, i2, i3, ..., ik+a-1 находится в левой части этих неравенств.
Пары icic+N можно разделить на следующие виды по признаку, содержат они или нет «неподвижные» вершины ik и ik+a-1:
а) icic+N при c ? k; c + n < k+a-1; n >1, n ? a-2; это пары элементов в (5), не содержащие элементов ik, ik+a-1 и тех элементов (i1, i2, i?2, i3, i?3, i4 и т.д.), которые входят в гамильтонов цикл (1a).
а) icic+N при c ? k; c + n < k+a-1; n >1, n ? a-2; это пары элементов в (5), не содержащие элементов ik, ik+a-1 и тех элементов (i1, i2, i?2, i3, i?3, i4 и т.д.), которые входят в гамильтонов цикл (1a).
Каждая из пар этого вида появится в системе неравенств (4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in, точно (a-3)(a-4)! раз – по числу (a-4)! перестановок (a-4) элементов, т.е. элементов последовательности (5) за вычетом элементов ik, ik+a-1, ic, ic+N для каждого из (a-3) возможных положений пары ic, ic+N в последовательности (5).
б) ic, ic+N при n>1, c=k и ic+Nic+a-1 при n < а-2, c=k это пары элементов в (5), содержащие элементы ik или ik+a-1 и элементы гамильтонова цикла (1a).
Каждая из этих пар появится в системе неравенств (4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in, точно (a-3)! раз по числу возможных перестановок (a-3) элементов, т.к. элементы ik, ik+N, ik+a-1 для этих пар «неподвижны».
Кроме этого, в совокупностях пар обоих видов надо выделить пары ic, ic+1, т.е. пары элементов гамильтонова цикла (1а). Тогда можно считать, что каждая из этих пар появится в системе неравенств (4) для определенного значения ik=i1,i2, ..., in точно ((a-3)!-1) раз по числу появлений пар вида а) или б) и за вычетом появлений одной пары, находящейся в левой части неравенства (4).
Аналогично и для любой пары вида iс+N iс число появлений в системе неравенств (4) для определенного значения ik равно (a-3)!. Здесь надо учесть то обстоятельство, что ik и ik+a-1 «неподвижны», т.е. они не могут участвовать в парах вида iс+N iс.
Таким образом, каждая пара элементов вида iсiс+N, не образующая ребро, инцидентное гамильтонову циклу, а также каждая пара вида iс+N iс появятся в правой части системы неравенств, записанных для определенного значения ik, точно (a-3)! раз, а ребра, инцидентные гaмильтонову циклу, точно ((a-3)!-1) раз.
Задавая последовательно значения ik от i1 до in, мы получаем каждый раз новые системы неравенств. При этом относительно любого ребра ic, ic+N участок ik, ik+1, ..., ik+a-1 «передвигается», вследствие чего любые пары ic+N ic или ic, ic+N участвуют в a-N(k+a-1-n-k+1=a-N) системах неравенств (4). То обстоятельство, что пары вида (ic+N, ic) с участием элементов ik и ik+a-1 в каждой системе неравенств невозможны, приводит к уменьшению числа появлений каждого такого вида пар ic+N ic в системе (4) для данного N на две.
Ребра ic ic+1 участвуют, таким образом, в (a-1) системах неравенств, если, конечно, (a-3)!-1 ? [1] или a ? 5, т.е., если они по условию вообще появляются в правой части системы неравенств для любого ik.
Отсюда очевидно, что любое ребро ? (ikik+N), N ? 1, графа будет повторяться в правых частях n систем неравенств (4) (a – N) раз для ik= i1, i2, ..., in.
Следовательно, правая часть системы (4) примет вид:
Отсюда получаем условие n-оптимальности (a=n)
Поэтому условие оптимальности гамильтонова цикла можно преобразовать к виду (a = n + 1):
Таким образом, весь процесс решения задачи делится на 2 стадии: первая – «обогащение» исходного числового массива, вторая – применение алгоритма поиска на «обогащенном» массиве. Реализация первой стадии при решении ЗОК производится с применением полученного условия оптимальности гамильтонова цикла в графе G с n вершинами. Условие оптимальности можно использовать для «обогащения» исходного множества ветвей графа: после проверки всех ветвей графа на условие оптимальности число ветвей, которое целесообразно использовать при дальнейшем решении ЗОК, сократится. Ввиду очевидной простоты описание алгоритма не приводится.
Опыт применения этого условия для графов с n=11–67 показал, что даже после однократного применения такой операции ко всем ветвям графа число ветвей в обогащенном массиве существенно сокращается.
• Для эффективного формирования целостности и системности собственного мышления и практики профессиональной деятельности рекомендуется провести работу по следующим темам (консультации на сайте systemtechnology.ru):
1) разработка комплекса формул Законов индустриализации, машинизации, технологизации прикладных математических методов и методик их применения;
2) разработка комплекса условий Принципа целостности прикладного математического метода (по выбору);
3) разработка комплекса правил Закона целостности прикладного математического метода (по выбору);
4) разработка комплекса правил Закона развития целого для прикладного математического метода (по выбору);
5) разработка комплекса условий Принципов развития целого для прикладного математического метода (по выбору).
• Положения системной философии могут быть применены и для решения задач образования[93] .
Так, системная триада образовательной системы странового формата включает в себя следующие системы:
а) система-субъект – совокупность государственных и неправительственных структур управления образованием. Эта система ответственна перед внешней средой (в том числе, перед страной) в целом за формирование концепции целостной образованности человека и общества, необходимой для целей выживания и развития страны. В функции этой системы входит также и управление реализацией концепции целостного образования;
6) система-объект – совокупность учреждений и заведений образования. Эта система ответственна перед системой-субъектом и страной за реализацию концепции целостной образованности человека и общества, необходимой для выживания и развития страны;
в) система-результат – предполагаемое приращение интеллектуального потенциала страны, необходимое для целей выживания и развития страны, за счет целостной образованности человека и общества, а также предполагаемая система управления сохранением, использованием и развитием целостной образованности человека и общества в обозримом будущем.
• Примем следующие определения:
продуктом воспитания является воспитанность человека и общества, продуктом образования – образованность человека и общества, продуктом просвещения – просвещенность человека и общества;