Все пошло наперекосяк в августе 2008 г. Компания JPMorgan Chase изъяла из фонда Fairfield Sentry 250 миллионов долларов. Официальная версия гласила, что они «были обеспокоены недостатком прозрачности». Тем временем Мэдофф и Fairfield Sentry создавали новый фонд. Он должен был увеличить количество заемных средств, чтобы достичь рентабельности 16 процентов. Fairfield Sentry якобы предупреждал инвесторов, что всякий, кто осмелится забрать деньги, и всякий, кто сделает глупость и не инвестирует в новый фонд, понесет суровое наказание: его лишат возможности вкладывать деньги в любой из будущих фондов Мэдоффа.
Мэдофф был арестован 11 декабря 2008 г.
Месячная рентабельность фонда Fairfield Sentry указывалась с точностью до сотых долей процента. Это означает, что в нашем распоряжении всего две или три значащие цифры. Округление уничтожает информацию (в данном случае это означает, что Мэдоффу не было нужды придумывать эту информацию). Несмотря на это, можно заметить, что месячная рентабельность Мэдоффа выглядит необычно.
Давайте начнем с первых цифр – теста, в котором закон Бенфорда проявляется нагляднее всего. Нигрини рекомендует пропускать отрицательные величины (или анализировать их отдельно), поскольку при фальсификации стоит задача минимизировать убытки. Я также исключил несколько случаев, когда числа оказывались меньше двух значащих цифр. Остается 190 величин, двух– и трехзначные положительные числа. Столбики гистограммы отображают реальное распределение цифр, а сплошная линия – идеальное распределение Бенфорда.
Первые цифры: рентабельность Fairfield Sentry
Сорок процентов показателей рентабельности начинаются с цифры 1. Это гораздо больше 30 процентов, предсказываемых законом Бенфорда. Цифры от 2 до 5 представлены недостаточно, а цифры 7 и 8 с избытком. Эти различия статистически значимы.
Мэдофф заявлял о рентабельности приблизительно 11 процентов в год. Значит, месячная рентабельность должна быть близка к 1 проценту. Эти числа были необыкновенно стабильны и никогда слишком сильно не отклонялись от среднего значения. Если принять все за чистую монету, то следует ожидать непропорциональной доли месяцев с рентабельностью в диапазоне от 0,70 до 1,99 процента. Это создаст избыток первых цифр 7, 8, 9 и 1, а также недостаток всех остальных.
Именно такую картину мы и наблюдаем – за одним-единственным исключением. Первая цифра 9 почти точно соответствует распределению Бенфорда. Это контрастирует с повышенной по сравнению с законом Бенфорда частотой появления последних цифр.
Наиболее вероятное объяснение – манипуляция. Подобно всем остальным, Мэдофф понимал, что рентабельность более 1,00 процента воспринимается как гораздо большая, чем например 0,99 процента. Месячная рентабельность, гипотетически начинающаяся с цифры 9, была повышена до >1,00+ процента. Другое правдоподобное объяснение придумать невозможно, даже если вы поверите утверждению Мэдоффа о фантастически низкой волатильности. По какой еще причине стабильная рентабельность будет перескакивать через числа, начинающиеся на 9?
Две последние цифры: рентабельность Fairfield Sentry
Теперь обратимся к двум последним цифрам месячной рентабельности. Гистограмма, иллюстрирующая распределение двух последних цифр, похожа на неровный штакетник с несколькими отсутствующими планками. Некоторые пары цифр встречаются гораздо чаще остальных. Самый высокий пик на гистограмме – 86. Такими были последние две цифры восьми показателей месячной рентабельности фонда Fairfield Sentry. Три пары встречаются по шесть раз: 14, 26 и 36.
Такая особенность наблюдается при неосознанном повторении придуманных чисел. Этот вывод становится еще более убедительным, если взглянуть на повторяющиеся пары цифр: 86, 14, 26 и 36. Все, кроме одной, оканчиваются на 6.
На самом деле девять пар последних цифр оканчиваются на 6, а всего они встречаются 33 раза. В два раза чаще, чем ожидается.
Рентабельность Fairfield Sentry также можно проверить при помощи тестов на сдвоенные последние цифры и на убывающие пары. При общем количестве 190 чисел следует ожидать приблизительно 19 сдвоенных цифр в качестве последних. В реальности их 24 – больше ожидаемого (не забывайте, что мошенники обычно избегают сдвоенных цифр). Единственное, что вызывает легкое подозрение, – пара 55, не любимая фальсификаторами, не встречается вообще.
Убывающих пар (10, 21, 32…) всего девять, и встречаются они 17 раз, что в точности соответствует ожиданиям.
Другими словами, показатели рентабельности Fairfield Sentry, похоже, были подправлены так, чтобы в большем числе месяцев превысить 1 процент. Подозрительным также выглядит большое количество чисел, оканчивающихся на 6 и 86. Два других признака придуманных чисел отсутствуют. В целом эти результаты не доказывают, что показатели рентабельности были придуманы, однако опубликованные числа доверия не внушают.
Как потенциальный инвестор вы в первую очередь должны решить, достаточно ли комфортно вы будете себя чувствовать, вкладывая деньги, а не доказывать, что Мэдофф мошенник. Если вы окажетесь в подобной ситуации, разумно будет попросить более подробные показатели рентабельности, с бо́льшим количеством значащих цифр. Такой запрос не несет в себе угрозы конфиденциальности в отношении алгоритмов торгов. Если менеджер ответит отказом, следует подумать, нужно ли доверять деньги тому, кто даже не хочет сообщить инвесторам точную цифру рентабельности.
Уже после скандала журналист CNBC раздобыл результаты партий в гольф, сыгранных Мэдоффом. Сам Мэдофф сообщал о 20 партиях в таких клубах, как Palm Beach Country Club, Atlantic Golf Club и Fresh Meadow Country Club. Счет отличался таким же необычным постоянством, как и рентабельность его инвестиций, причем три из 20 партий он завершил за 86 ударов.
Резюме: Как распознать финансовые пирамиды• Финансовые мошенники могут фабриковать данные и манипулировать ими. Следует с недоверием относиться к любым числам, лишь немного превышающим психологически значимый порог.
• Тест двух последних цифр может выявить нечестных менеджеров, неосознанно отдающих предпочтение определенным парам цифр.
Часть вторая Теория легкой руки
14 В зоне
Израильско-американский психолог Амос Тверски, имевший рост 5 футов 9 дюймов, был страстным поклонником баскетбола. Он смотрел матчи, активно болел и сам играл с друзьями, причем весьма агрессивно. «Он был грубым на площадке, – рассказывала мне жена Тверски Барбара. – Приходил домой весь побитый. Я говорила ему, что баскетбол – бесконтактный вид спорта!»
Будучи болельщиком, Тверски знал о теории легкой руки. Убеждение, что существуют победные серии, широко распространено среди баскетболистов, тренеров, спортивных комментаторов и болельщиков. Причем не простых победных серий, а предсказуемых. Якобы у игрока, сделавшего несколько результативных бросков подряд, «легкая рука», или он находится «в зоне». Значит, в следующий раз он с большей вероятностью попадет в корзину, чем промахнется.
Это логично. Удачные броски повышают уверенность в себе, что само по себе хорошо. Успех порождает успех. Теория легкой руки вплетена в рассуждения спортивного комментатора и влияет на игровую стратегию. Игроки стараются передать мяч удачливому товарищу по команде: у него больше шансов отправить мяч в корзину. Команда соперников, наоборот, старается прервать пасы игроку с легкой рукой и блокировать его броски.
Многие болельщики считают теорию легкой руки само собой разумеющейся и не требующей доказательств. Просто понаблюдайте немного за игрой, и вы увидите сами. Игроки, сами оказывавшиеся «в зоне», тоже не сомневаются. Первис Шорт из команды Golden State Warriors однажды сказал:
«Ты пребываешь в собственном мире. Это трудно описать. Но корзина кажется такой широкой. И что бы ты ни делал, ты знаешь, что мяч в нее попадет».
Когда предлагается предъявить доказательства, зануды-болельщики начинают сыпать примерами победных серий. 8 декабря 1992 г. Доминик Уилкинс из клуба Atlanta Hawks сделал 23 результативных броска подряд. 22 января 2006 г. Коби Брайант принес клубу Los Angeles 81 очко в игре против Toronto. Оба случая считаются самыми яркими примерами легкой руки.
Тверски вел в Стэнфорде семинар. Он рассматривал эксперименты по имитации случайности. Один из его студентов, Томас Гилович, предложил выполнить исследование эффекта легкой руки. Он считал, что некая связь существует. Учитывая, что людям трудно придумывать случайные последовательности, можно предположить, что они также плохо понимают события, близкие к случайным, например, баскетбольные броски. Гилович предположил, что болельщики преувеличивают значение легкой руки.
«Я пошел к Амосу, чтобы поговорить об этом, – рассказывал Гилович, – и с удивлением обнаружил, что он заинтересовался». Однако Тверски настаивал, что полосы удач не существует. Это миф! В игре больше случайности, чем полагают болельщики.
«Он сказал, что по-настоящему проверить это нельзя, поскольку невозможно получить достаточно данных, – вспоминал Гилович. – За год, проведенный в Гарварде, он собрал лишь небольшой массив данных. И тогда я сказал, что смогу собрать достаточно информации, чтобы проверить эту идею».
Для этого Гиловичу требовалась полная запись попаданий и промахов, причем в их реальной последовательности. В то время только один клуб НБА вел такую статистику – Philadelphia 76ers. Их педантичный статистик Харви Поллак предоставил записи, и идея Гиловича легла в основу статьи. Другой студент, Роберт Валлоне, вызвался помочь со статистикой. Гилович, Валлоне и Тверски опубликовали результаты работы в журнале Cognitive Psychology в статье под названием «Легкая рука в баскетболе: О неправильном восприятии случайных последовательностей» (The Hot Hand in Basketball: On the Misperception of Random Sequences). Она вызвала споры, не утихающие до сих пор.
Статья посвящена не только баскетболу. Спорт становится поводом для обсуждения того, как наш мозг воспринимает окружающую смесь предсказуемого и случайного. Три автора с разных точек зрения анализируют теорию легкой руки. Они провели опрос среди игроков НБА и болельщиков из студенческой среды, спрашивая, повышается ли после удачного броска вероятность того, что игрок не промахнется и в следующий раз. Подавляющее большинство ответили утвердительно. Исследователи изучили записи бросков клубов Philadelphia 76ers и Boston Celtics (у них были данные бросков из-за трехочковой линии) и подвергли их статистическому анализу. Они также провели эксперименты с трехочковыми бросками среди мужских и женских команд Корнеллского университета, предлагая добровольцам делать ставки на легкую руку.
Во всех случаях свидетельств эффекта легкой руки обнаружено не было. Все верили в свою способность предсказать то, что на самом деле непредсказуемо (и ставили деньги).
В статье проводится важное разграничение между легкой рукой и полосой удач. Совершенно очевидно, что бывают случаи, когда игрок совершает необычно большое число метких бросков подряд благодаря – за неимением лучшего слова – удаче. Аналогичные полосы везения случаются в рулетке, в игре в кости и в лотерее. Разумные люди соглашаются: везение в рулетке непредсказуемо и зависит только от удачи.
Точно такое же разграничение психологи проводят между легкой рукой и талантом. Не подлежит сомнению, что одни спортсмены лучше играют в баскетбол, чем другие. Игрок с поставленным броском имеет больше шансов попасть в кольцо несколько раз подряд. Джулиус Ирвинг, бывшая звезда баскетбола, 52 процента всех очков набрал в сезоне 1981–82 гг. Можно сравнить это с результатом подбрасывания монетки со смещенным центром тяжести, с вероятностью выпадения орла 52 процента. Будет ли у доктора Джулиуса победных серий больше, чем серий орлов при подбрасывании монеты, и будут ли они длиннее? Если да, то это свидетельствует в пользу теории легкой руки. Иначе можно предположить, что победные серии Ирвинга – лишь проявление обычной случайности.
Исследования подтвердили последнее. Талант игрока определял общую вероятность попадания мяча в корзину, однако победные серии оказались не длиннее, чем можно было бы ожидать от случайности.
Вполне возможно, что игроки другой команды прилагали больше усилий для блокирования меткого баскетболиста, поскольку верили в легкую руку. Это может скомпенсировать эффект, который существует на самом деле. Чтобы проверить такую возможность, группа Гиловича организовала трехочковые броски среди команд Корнеллского университета. Соперники в данном случае отсутствовали, и никакая стратегия не вносила искажений в результат. Это был чистый тест теории легкой руки, и результат его оказался точно таким же. Легкая рука – иллюзия.
Тренер команды Celtics Ред Ауэобах был знаменит тем, что мог предсказать исход матча в середине игры. Убежденный, что его команда вышла на непобедимую серию, он закуривал сигару. Когда ему рассказали о статье, посвященной легкой руке, Ауэрбах спросил: «Да кто он такой? Ну, провел исследование, а мне какая разница?».
«В бросках по кольцу в баскетболе важно столько факторов, – говорил Бобби Найт, тренер Indiana Hoosiers, – что подобные статьи абсолютно ничего не значат».
Спортивный комментатор NCAA Билли Паркер посоветовал статистику «познакомиться с реальной жизнью».
С тех пор теория легкой руки подробно рассматривалась в литературе по психологии и статистике, в посвященных баскетболу блогах, в спортбарах, а иногда и в СМИ. Большое количество исследований подтвердили выводы GVT (аббревиатура фамилий Гиловича, Валлоне и Тверски). В 2011 г. вышла статья Тэла Неймана и Йонатана Левенштейна из Иерусалимского университета. Они анализировали броски с игры в мужской и женской американских баскетбольных лигах. Игрок, пытающийся забросить мяч в корзину с игры, может сделать это из двух зон, двухочковой и трехочковой; второй вариант сложнее. Решение зависит от уверенности в себе. Исследование показало: профессиональные баскетболисты после удачного трехочкового броска с большей вероятностью повторяли попытку. Возможно, верили в легкую руку. Коби Брайант, названный в сезоне 2007–08 гг. самым ценным игроком, после успешного трехочкового решался на следующий такой же бросок почти в четыре раза чаще, чем после промаха.
Но Брайант, подобно всем остальным, совершал ошибку, руководствуясь результатами своих действий. Нейман и Левенштейн показали, что вероятность меткого трехочкового броска после попадания в кольцо чуть меньше, чем после промаха – 36 процентов против 38 процентов.
Исследователи также обнаружили, что у игроков короткая память. Решение о попытке трехочкового броска принималось в основном по результатам последнего попадания. Предпоследний удачный бросок оказывал уже меньшее влияние, а всё, что произошло раньше, в буквальном смысле забывалось и никак не влияло на принятие решения. Выбор игроков НБА относительно броска был так же предсказуем, как выбор людей, игравших с машиной для предсказаний.
Вера в легкую руку (или ее отрицание) присутствует и во многих других видах спорта. Для этого даже придумали общий термин – серийность. Существует представление о большей, чем для случайных явлений, вероятности выигрышных или проигрышных серий в бейсболе, футболе, теннисе и гольфе – а если точнее, то в любом виде спорта, где ведется статистика. Серии применимы к отдельным игрокам и победным играм или сезонам; о сериях также говорят применительно к скачкам и собачьим бегам.
В настоящее время не подлежит сомнению, что легкая рука не всегда миф. По-настоящему легкая рука, похоже, проявлется в боулинге. Если игрок сбивает все десять кеглей первым броском (страйк), то получает десять очков плюс количество кеглей, сбитых за два последующих броска. Такая система мотивирует игрока стараться изо всех сил после страйка – и это помогает. Накопленные данные показывают: игроки в боулинг, осваивающие страйк, с немного большей вероятностью повторяют его или делают спэр (выбивают десять кеглей за два удара).
Существуют также свидетельства серийности в некоторых соревнованиях. Победа в теннисном матче требует выигрыша двух из трех сетов. Игрок, выигравший первый сет, может прибегнуть к прессингу по всему корту (если можно так выразиться), чтобы добиться победы на втором. То же самое относится к профессиональным гольфистам, когда от квалификации на вожделенный чемпионат их отделяют одна или две игры. Эффект легкой руки существует в индивидуальных видах спорта, где система отсчета поощряет следующие друг за другом победы. Командные виды спорта в большей степени случайны, и в них слишком много переменных, недоступных контролю отдельного человека.
Но сказанное не меняет ситуации: болельщики настроены видеть серийность там, где ее нет. Благодаря вирусному распространению через интернет вера в легкую руку в настоящее время только усилилась. Охваченные этой страстью блогеры по-прежнему яростно нападают на статью Гиловича, Валлоне и Тверски, написанную несколько десятилетий назад. «Когда вся ваша жизнь убеждает вас в чем-то, и вы на самом деле испытываете это, а затем вам говорят противоположное, то вы сопротивляетесь, – объяснял Гилович. – Я не имею в виду, что люди, верящие в легкую руку, подобны тем, кто считает, что земля плоская, но когда человек впервые заявил, что земля не плоская, это выглядело безумием».
Идея легкой руки – следствие непонимания природы ситуации, проявляющейся в экспериментах по имитации случайности. На самом деле группа Гиловича выполнила именно такой эксперимент, только новой разновидности. Они показали испытуемым последовательности из значков Х и О, и попросили определить, какая из них случайная, а какая нет. Участникам эксперимента также предлагалась легенда, что последовательности представляли собой запись попаданий и промахов при бросках в кольцо в баскетболе. Обе воспринимались как реальные данные.