Под влиянием силы упругости струна снова начинает двигаться в противоположную сторону, проходит через положение равновесия и из него — в первоначальное максимальное смещение. Оттуда она снова идет назад, затем — вперед и так далее.
Если бы не существовало никакого сопротивления воздуха и никакого трения в точках крепления струны, максимальные смещения струны влево и вправо были бы постоянными и одинаковыми и вибрация продолжалась бы неопределенно долго. Но описанные колебания в конце концов в значительной мере не достигают своего максимума и, наоборот, с каждым движением вправо (или влево) достигают точки смещения, не равной, а меньшей, чем та, что была достигнута при предыдущем движении в этом направлении. Колебания «заглушены» и медленно «затухают».
Во всех случаях простых гармонических колебаний принципиальным моментом является то, что изменения скорости всегда происходят гладко и плавно и никогда — резко. Вообразим себе падающее тело, проходящее через поверхность Земли и твердую материю планеты. Сила тяжести, приложенная к этому телу, непрерывно становится все больше с увеличением расстояния от поверхности планеты и все меньше с продвижением его под этой поверхностью. По мере падения тело ускоряется на все меньшую и меньшую величину. К тому времени, когда оно достигнет центра Земли, на него не будет действовать никакой силы, а его скорость будет максимальной. Тогда тело пройдет сквозь центр Земли и начнет перемещаться к противоположной части планеты; его скорость начнет уменьшаться, поскольку сила тяжести становится все больше и больше, пока тело не появится на противоположной поверхности Земли и не поднимется на такую же высоту, как это было вначале (с другой стороны). Но тогда оно бы повторило свое движение, возвращаясь к своей первоначальной позиции, оно бы начало движение в противоположном направлении и так далее. Такое воображаемое движение также являет собой пример простых гармонических колебаний.
В реальности, однако, движение падающего тела было бы прервано поверхностью Земли, и скорость его резко бы изменилась в момент контакта с этой поверхностью. Получившиеся в результате этого сильные удары — тоже пример вибраций или гармонических колебаний, но совсем не простых гармонических колебаний.
Особый интерес при рассмотрении любых вибрационных колебаний представляет собой время, которое требуется телу, чтобы пройти расстояние от одной экстремальной точки к другой и назад. Время, которое потребуется для завершения этого движения (или любого другого подобного в этом отношении движения), называется «периодом» этого движения.
Всякий раз, когда движение складывается из ряда повторных поддвижений, каждое из которых имеет свой собственный период колебаний, говорят, что такое движение называется «периодическими колебаниями», особенно когда индивидуальные периоды колебаний равны. Движение по кругу или любой замкнутой кривой может рассматриваться как составленное из последовательных возвращений к первоначальной точке начала движения, с каждым отдельным движением по кривой; следовательно, это ряд повторных поддвижений и он может быть назван периодическими колебаниями. Вибрация также представляет собой ряд возвращений к первоначальной точке, хотя скорее посредством движений «вперед-назад», чем в соответствии с движением по замкнутой кривой, поэтому и вибрация может также служить примером периодических колебаний.
Определить период колебаний объекта, даже когда он вибрирует в соответствии с законами, управляющими простыми гармоническими колебаниями, довольно сложно, если иметь дело непосредственно с вибрацией. В такой вибрации величины скорости, ускорения не являются постоянными, обе они изменяются в зависимости от положения в каждый данный момент времени. Поэтому при таких исследованиях ищут пути представить вибрацию посредством некоторого вида движения, включающего в себя постоянное ускорение.
Это может быть достигнуто путем перехода от вибрации к другой форме периодических колебаний — круговому движению. Объект может быть изображен как перемещающийся по кругу при постоянном внутреннем ускорении и, следовательно, как перемещение по окружности круга с постоянной скоростью.
Если рассматриваемый круг имеет радиус длины a, тогда длина его окружности равна 2πa. Если точка перемещается со скоростью v, то время t, которое требуется, чтобы сделать полное обращение (период кругового движения), равно:
Теперь если мы представим себе круг, бросающий тень на стену, то тень его боковой поверхности будет прямой линией. Точка, перемещающаяся по кругу, на тени будет казаться перемещающейся вперед и назад по прямой линии. По мере движения точки по окружности точка на тени будет совершать возвратно-поступательное движение по прямой линии. Период колебаний по окружности (уравнение 8.1) будет также равен периоду вибрации тени.
На любом из крайних положений линии-тени точка будет казаться перемещающейся очень медленно, потому что ее движение по кругу отражается на линию-тень под более или менее прямым углом, что дает очень немного поперечного движения. (А только поперечное движение обнаружит себя на тени.) По мере передвижения точки в промежуточные части круга его движение становится все более поперечным и все менее поступательным по отношению к линии, так что точка на тени кажется двигающейся все быстрее и быстрее, чем дальше она находится от крайнего положения. Таким образом, когда точка находится в самом центре, точка на окружности перемещается параллельно линии и все ее движение — поперечно. В центре теневой линии поэтому точка кажется перемещающейся самым быстрым образом. Движение точки по линии-тени напоминает движения тела при простых гармонических колебаниях, и действительно, данное движение является таковым. Следовательно, формула 8.1 представляет собой период (t) простых гармонических колебаний.
Уравнение 8.1 все еще представляет трудность для анализа, так как включает в себя скорость v, и, в то время как точка перемещается по окружности с постоянной скоростью, она перемещается по линии-тени с постоянно меняющейся скоростью. Поэтому мы должны найти, если возможно, что-то, что займет место v.
В любых простых гармонических колебаниях максимальная скорость проходит через среднюю точку между двумя экстремумами. В этот момент тело, испытывающее такое движение, находится в положении равновесия, где оно и осталось бы, если бы находилось в состоянии покоя. В этой точке тело не обладает никакой потенциальной энергией, а обладает только энергией движения, или, как ее иначе называют, «кинетической энергией». Поскольку тело перемещается дальше от своего положения равновесия, оно теряет скорость и поэтому теряет кинетическую энергию. Однако оно перемещается в положение, в котором кинетическая энергия равна нулю, зато получает энергию положения, или, как ее иначе называют, «потенциальную энергию». В экстремальном положении тело останавливается на мгновение, и вся его энергия находится в форме потенциальной энергии. Тело, участвующее в простых гармонических колебаниях, демонстрирует периодический переход кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно и (не принимая во внимание эффект демпфирования трением и сопротивление воздуха) являет собой превосходный пример сохранения механической энергии.
Как я уже сказал ранее, в соответствии с законом Гука, сила упругости, приложенная к телу, испытывающему простые гармонические колебания, пропорциональна его смещению от положения равновесия. Она равна F = kd, где F — сила упругости, а d — смещение. Сила упругости — наименьшая в положении равновесия (которое находится в центре нашей прямолинейной тени). В этой точке не имеется никакого смещения и сила упругости равна нулю. Максимальное значение силы упругости достигается в точке максимального смещения, которая, конечно, расположена на краю прямолинейной тени. Это крайнее положение равно расстоянию a (радиусу окружности, которая отбрасывает прямолинейную тень) от центра или положения равновесия, следовательно, мы можем сказать, что сила упругости в ее максимальном значении равна ka.
В то время как тело перемещается из положения равновесия до крайнего положения, оно перемещается против силы, которая начинается в 0 и плавно увеличивается до ka, а средняя сила, против которой действует перемещающееся тело, поэтому равна ka плюс 0, разделенные на два, или (ka/2).
Работа, приложенная к телу, которая необходима, чтобы вывести его из положения равновесия и переместить в данную точку, равна силе, умноженной на расстояние, на котором приложена сила. Это означает ka/2 умножить на a, или ka2/2. В крайней точке вся эта работа будет запасена в виде потенциальной энергии и поэтому максимальная потенциальная энергия тела, перемещающегося на условиях простых гармонических колебаний, равна ka2/2.
В то же самое время кинетическая энергия тела достигает своего максимального значения в средней точке, там, где вся потенциальная энергия была преобразована в движение и где скорость достигает своего максимума. Кинетическая энергия тогда равна mv2/2, где m — масса тела, a v его максимальная скорость.
Так как потенциальная энергия и кинетическая энергия постоянно конвертируются между собой в течение всего времени существования простых гармонических колебаний без существенных потерь, максимальная величина потенциальной энергии и максимальная величина кинетической энергии должны быть равны. Таким образом:
Мы легко можем преобразовать это уравнение:
Заменив (m/k) на (a/v) в уравнении 8.1, мы получаем:
Это совершенно удивительный результат, поскольку выясняется, что период простых гармонических колебаний зависит только от массы перемещающегося тела и пропорционален константе между нагрузкой и напряжением. Все эти данные могут легко быть определены для данного специфического тела, и, таким образом, мы можем сразу рассчитать период колебаний.
Следует отметить, что период колебаний не зависит ни от скорости тела, перемещающегося с простыми гармоническими колебаниями, ни от расстояния, на которое тело перемещено из среднего положения, так как и v и а исчезли из уравнения 8.4. Это означает, что, если струна оттянута на некоторое расстояние от ее среднего положения, она достигнет некоторой максимальной скорости в средней точке ее колебаний и будет иметь некоторый период вибрации. Если ее оттянуть на большее или меньшее расстояние, она получит большую или соответственно меньшую максимальную скорость; в любом случае изменения в скорости будет только достаточно, чтобы восполнить изменение в расстоянии смещения, так что период колебаний останется тем же самым.
Этот постоянный период вибрации является большим благом для всего человечества, потому что предлагает средство для весьма точного измерения времени — подсчет колебаний, причем даже затухающих колебаний.
Теоретически любые периодические колебания делают это возможным. Первым периодическим движением, которое служит человечеству в качестве часов, было непосредственно само движение Земли; каждый поворот планеты на ее оси отмечает один день и ночь, а каждый поворот планеты относительно Солнца отмечает один цикл сезонов. К сожалению, движения Земли не могут нам предложить хороших средств измерения промежутков времени меньше чем длиною в день.
В древние времена человечество использовало апериодические движения, разбитые (как надеялись) на равные части. Они включают в себя движение тени по основанию, движение песка через узкое отверстие, капанье воды через отверстие, сокращение длины горящей свечи и так далее. Все, что можно было получить таким способом, — это довольно приблизительно равные промежутки времени; и только в середине XVII столетия появилась возможность сообщить время с точностью до часа или менее или измерить единицы времени меньшие чем час с некоторой разумной точностью.
Только когда стали использоваться периодические колебания с короткими периодами вибрации, стали возможными современные устройства для измерения времени, а вместе с ними (до очень большой степени) и вся современная наука.
Сам Галилео весьма страдал от неспособности точно измерить короткие интервалы времени. (В некоторых случаях он использовал для замера времени свой пульс, и хотя это было периодическое явление, но, к сожалению, не очень устойчивое.) Однако хотя он непосредственно сам и не извлек выгоды из этого, он был первым, кто обнаружил периодические колебания, которые в конечном счете стали использоваться для измерения времени.
В 1583 году, когда Галилео был юношей и студентом-медиком в Университете Пизы, он однажды пошел в местный собор, чтобы помолиться. Но даже его глубокая вера (а Галилео всегда был очень набожным человеком) не смогла удержать его пытливый ум от наблюдений. Он не мог не заметить колебание паникадила в нефе. Время от времени благодаря капризу ветра оно описывало большую дугу, время от времени — меньшую, но, как показалось Галилео, период колебаний все время был тем же самым независимо от длины дуги. Он прервал свои молитвы и проверил эту догадку, рассчитав колебания при помощи своего пульса.
Вернувшись домой, Галилео продолжил эксперимент, подвесив маленькие «люстры», сделанные из «отвесов» и нитей, к потолку и позволив им раскачиваться с различным периодом колебаний. (Такие подвешенные грузы называются «маятниками» (pendulum — от латинского слова, означающего «висение» или «покачивание».) Галилео смог доказать, что период колебания не зависел от тяжести отвесов, а только от квадратного корня из длины нити. Другими словами, маятник, подвешенный на нити длиной четыре фута, имеет период колебания вдвое больший, чем такой же, но с нитью длиной в один фут.
Теперь рассмотрим маятник. Если отвес висит вертикально на своей нити, он останется неподвижным. Это — его положение равновесия. Если отвес отклонить в сторону, натяжение нити заставит его двигаться по дуге круга так, что он поднимется на более высокий уровень. Если отпустить его, то под воздействием силы тяжести он будет двигаться вниз с увеличивающейся скоростью, назад по дуге круга, к своему самому нижнему положению.
Результирующая сила, которая вызывает это движение, получается в итоге сложения силы тяжести и силы натяжения нити. По мере снижения отвеса нить становится все более и более вертикальной и компенсирует все большую часть силы тяжести. Результирующая сила постоянно уменьшается по мере снижения отвеса, так же как ускорение. Когда отвес попадает в самую нижнюю часть дуги, маятник оказывается подвешенным на совершенно вертикальной линии, и нить полностью компенсирует все гравитационное напряжение. В этой точке не существует никакого неуравновешенного гравитационного напряжения и никакого ускорения. Отвес перемещается с максимальной скоростью.
Из-за инерции отвес проходит через точку равновесия и начинает описывать дугу в другом направлении. Теперь снова имеется результирующая сила, которая замедляет его движение. Чем выше он поднимается, тем больше неуравновешенная сила тяготения и тем быстрее замедляется движение отвеса. В конечном счете его движение замедляется до нуля, и в этот момент отвес достигает точки максимального смещения. Далее начинается обратное движение вниз, через точку равновесия, до максимального смещения с другой стороны и так далее.
Это очень похоже на описание простых гармонических колебаний, за исключением того, что там щипание струны вызывает движение вперед и назад по прямой линии, а смещение маятника вызывает движение вперед и назад по дуге круга. Как нам может показаться — это не является принципиальной и существенной разницей, потому что нам кажется, почему бы не существовать периодическому вращательному движению точно так, как существует периодическое поступательное движение? И действительно — имеется достаточное количество обоих видов этих простых гармонических колебаний.
Но действительно ли движение маятника является одним из них? Во всех случаях простых гармонических колебаний типа вибрации струны, скручивающегося и раскручивающегося шнура, движения вверх и вниз натянутой струны и раскручивания и закручивания упругой спирали сила упругости находится в пределах материала, из которого изготовлен предмет, она — производное его эластичности (упругости). В случае маятника сила упругости находится вне системы в форме неуравновешенного гравитационного напряжения. Это может представлять собой принципиальную разницу. Чтобы проверить, качается ли маятник согласно свойствам простых гармонических колебаний, мы должны проверить, действительно ли является сила упругости, компенсирующая силу тяжести, прямо пропорциональной величине смещения, что служит показателем того, что в данном случае действует закон Гука (характеризующий простые гармонические колебания).
Давайте начнем со смещения. Это — длина дуги круга, по которой маятник передвигается, чтобы достигнуть некоторого положения. Длина этой дуги зависит и от длины l струны, и от величины угла (θ), на который перемещается маятник. Смещение (D) фактически равно длине струны, умноженной на угол, на который перемещается вес:
Теперь рассмотрим силу упругости. Она, конечно, зависит от силы тяжести. Полное значение натяжения нити, вызванное силой тяжести, направленной вниз, соответственно должно быть равно mg, где m — масса отвеса, a g — ускорение свободного падения. Однако отвес не двигается точно вниз, он перемещается по дуге. Это перемещение складывается из воображаемых «скатываний» по наклонной плоскости, которая изменяет свой угол наклона в каждой из точек окружности.
Эта ситуация подобна той, с которой мы столкнулись, когда рассматривали наклонные плоскости. Вообразите отвес маятника в некоторой точке его движения, когда поддерживающая его струна составляет с вертикальной линией угол, равный θ. В этой точке отвес как будто скатывается по наклонной плоскости, составленной по тангенсу к дуге колебания в этой точке. Мы могли бы изобразить такую наклонную плоскость, как часть прямоугольного треугольника. Наклонная плоскость имела бы длину L и высоту H от горизонтальной линии. Угол, который наклонная плоскость создает с горизонтальной линией, как это можно видеть из обычной геометрии, равен углу сдвига, то есть также равен θ.
Как мы узнали, максимальная сила тяготения должна быть умножена на отношение H к L, так что сила упругости (F) будет равна mg(H/L). Отношение H к L представляет собой синус угла θ и обозначается «sin θ». Поэтому мы можем выразить силу упругости как:
Таким образом, отношение силы упругости к смещению в случае качающегося маятника равно (объединяем уравнения 8.5 и 8.6):
Теперь возникает вопрос: является ли это отношение константой, поскольку если это так, то качающийся маятник должен рассматриваться как пример простых гармонических колебаний. Масса (m) отвеса и длина струны (l) не изменяются в процессе колебания маятника, значение g также постоянно для любой данной точки поверхности Земли, так что величина mg/l также может рассматриваться в качестве константы. Остается только определить, является ли величина (sinθ)/θ также константой. Если это так, то задача решена.
К сожалению, данное отношение не является константой. Как мы можем легко определить, синус 30° равен ½, в то время как синус 90° равен 1. Другими словами: в то время как синус угла только удвоился, сам угол стал больше в три раза. Это означает, что (sinθ)/θ не является константой, что сила упругости нити маятника не является величиной, прямо пропорциональной смешению, и что покачивание маятника не является примером простых гармонических колебаний.
Однако если отношение (sinθ)/θ и не является константой, то оно почти постоянно для маленьких углов (10° или меньше). Поэтому, если маятник качается вперед и назад по небольшой дуге, это движение практически является примером простых гармонических колебаний.
На практике для маленьких углов (sinθ)/θ — не просто константа, это отношение равно единице. По этой причине (не забываем, что мы имеем дело с маятниками, качающимися только по маленьким дугам) мы можем устранить выражение (sinθ)/θ в уравнении 8.7 и написать:
в котором символ ≈ означает «приблизительно равно».