Направленная вниз сила поля тяготения пропорциональна полной массе тела, в то время как восходящая сила сопротивления воздуха пропорциональна области контакта перемещающегося тела с воздухом в направлении его движения. Для компактного и относительно тяжелого тела, типа камня, кирпича или глыбы металла, сила тяжести высока, в то время как контакт с воздухом достаточно мал из-за того, что область, по которой оно контактирует с воздухом, достаточно ограниченна; поэтому сопротивление воздуха также достаточно низкое. Когда мы рассматриваем такой тип движения, как это делал Галилео во время своих экспериментов, то можно сказать, что оно по характеристикам достаточно близко к движению в вакууме, поэтому заключения, которые сделал Галилео из своих экспериментов, достоверны.
Если же мы рассмотрим легкие тела, то для них сила тяготения относительно невелика. Если же такие тела являются еще и тонкими и плоскими (например, как листья или перья), то они подставляют воздуху относительно большую площадь поверхности контакта, и сопротивление воздуха приобретает относительно высокое значение. В таких случаях сопротивление воздуха почти компенсирует силу тяжести, и поэтому эти легкие тела падают медленно (в вакууме они падали бы быстро); эта медленная скорость падения и ввела в заблуждение древнегреческих философов, наблюдавших за ней, заставив поверить в то, что между весом тела и скоростью свободного падения имеется тесная взаимосвязь.
При движении тела сквозь воздух под действием силы тяжести имеется некая предельная скорость, так как сопротивление воздуха не остается постоянным, а увеличивается вместе с увеличением скорости движения объекта. По мере увеличения скорости сопротивление воздуха в конце концов компенсирует силу тяжести. Для тяжелых, компактных объектов эта предельная скорость очень высока, но для легких, плоских объектов ее значение весьма невелико. Снежинки быстро достигают своей низкой предельной скорости и в дальнейшем нисколько не ускоряются, хотя они падают много миль. Если компактный объект прикреплен к легкому и плоскому, то эти два объекта вместе достигают гораздо более низкой предельной скорости, чем это было бы, если бы компактный объект падал в одиночку; вот именно поэтому парашют делает возможным благополучное падение с весьма больших высот.
И снова, для газов, как и для жидкостей, действует эффект Бернулли, и величина давления воздуха снижается по мере увеличения скорости перемещения воздуха. Струя воздуха, направленная поперек отверстия, охватывает это отверстие областью низкого давления («частичный вакуум»). Если трубка, в отверстии которой возникает это падение давления, связана с жидкостью, находящейся под нормальным атмосферным давлением, то эта жидкость будет втянута в трубку и выйдет наружу в виде мелких распыленных капель.
Когда бейсбольный мяч или мяч для гольфа летит, вращаясь, сквозь воздух, то одна сторона его вращается вместе с движением воздуха, текущего мимо мяча во время движения; другая же сторона мяча вращается против этого движения. Сторона, которая крутится против движения, имеет большую скорость относительно воздуха, и сопротивление воздуха в этом направлении, меньше. Шар бросают в направлении более низкого давления, так чтобы бейсбольный мяч «изогнулся» во время своего полета (чего обычно и добивается питчер, бросающий мяч), в то время как мяч для гольфа «идет крюком» или «мажет» (что обычно нежелательно).
В тех случаях, когда нам необходимо поддерживать высокую скорость движения сквозь воздух с использованием минимума силы, большое значение приобретает обтекаемость тела. Важность этого увеличивается одновременно с увеличением скорости, потому что сопротивление воздуха также увеличивается. Таким образом, лошадь и фургон не требуют никакой обтекаемости, автомобили же требуют ее в малой степени. (Тенденция к созданию автомобиля с абсолютно обтекаемой формой, появившаяся в конце 1930-х годов, была скорее вопросом подачи формы, а не предметом необходимости и вскоре была оставлена.)
Однако когда разговор касается самолетов, вопрос об обтекаемости приобретает первостепенное значение, а при достижении сверхзвуковых скоростей в первую очередь происходит развитие не столько мощности тяги, сколько надлежащего изменения формы для уменьшения сопротивления воздуха. Больше того, крылья самолета (в свою очередь, обтекаемые) разработаны таким образом, чтобы воздух проходил большее расстояние над верхней частью крыла, чем под нижней, и поэтому скорость его движения над крылом больше, чем под крылом. В соответствии с принципом Бернулли это означает, что над крылом самолета получается меньшее давление воздуха, чем под ним, а это вызывает возникновение «подъемной силы», которая помогает поддержать самолет в воздухе.
Свойства газов имеют принципиальную важность при рассмотрении возможной атомистической природы материи. Если материя неатомна, то вариации в плотности должны быть вызваны непосредственно свойственными только ей различиями в самой материи. Однако каждая частица этой материи, сколь малой бы она ни была, должна быть столь же плотной, как и любая другая частица. В материи не может существовать ни пустот, ни отверстий, как это будет в случае, если материя состоит из атомов.
Если материя состоит из атомов, то между ними имелось бы пространство, содержащее только вакуум. Материю можно было бы сделать менее плотной, если каким-либо образом растянуть атомы в разные стороны, чтобы увеличить пропорциональное содержание пустот в пределах данного объема. И наоборот, материю можно было бы сделать более плотной, сдвигая атомы вместе и, таким образом, уменьшая пропорциональное содержание в ней пустот.
Действительно, могло бы показаться, что плотность данной некоторой материи можно изменить таким образом при помощи нагрева или охлаждения. Плотность обычно уменьшается при нагревании и увеличивается при охлаждении. Действительно, хотя плотность холодной воды равна 1 г/см3, плотность такой же, но горячей воды равна всего лишь приблизительно 0,96 г/см3.
Опять же твердые тела, если их достаточно нагреть, в расплавленном виде превращаются в жидкости, а жидкости снова становятся твердыми телами, будучи охлаждены. Это изменение в «состоянии материи» сопровождается внезапным изменением в плотности. Таким образом, лед имеет плотность 0,92 г/см3, но, как только мы расплавим его, он превращается в воду с резким увеличением плотности — до 1,00 г/см3. И снова твердое железо имеет плотность 7,8 г/см3, но она резко уменьшается, когда железо расплавлено и перешло в жидкую форму, которая имеет плотность всего лишь 6,9 г/см3. Ученый-атомист мог бы указать на то, что существует готовое объяснение этого эффекта — в одном состоянии вещества, составляющие его атомы, являются более компактными, чем в другом. (Согласитесь, обычно твердое тело обладает большей плотностью, вода являет собой довольно любопытное исключение.)
Однако во всех таких изменениях плотность меняется только на несколько процентов, а это не слишком убедительно. Против атомиста работает и тот факт, что жидкости и твердые тела являются относительно несжимаемыми. Требуется большое увеличение давления (достижимое только при помощи специального оборудования), чтобы вызвать даже маленькое уменьшение в объеме. По этой причине в обычной материи не может существовать значимого количества пустот между атомами, и даже атомисты вынуждены признать, что в жидкостях и твердых телах атомы, если они существуют, находятся в непосредственном контакте. Так как жидкости и твердые тела остаются несжимаемыми при любой температуре, то мнение о том, что атомы находятся на больших расстояниях в горячей воде по сравнению с холодной или в жидком железе по сравнению с твердым, скорее всего, неправильное. Если бы оно не было неправильно, то горячая вода и жидкое железо были бы, по крайней мере, умеренно сжимаемы, а они не ведут себя таким образом.
Однако совсем другое дело получается, когда разговор переходит от жидкостей и твердых тел к газам. Когда жидкая вода закипает и формируется газообразный пар, изменение в плотности — разительное и радикальное. В то время как вода в точке кипения имеет плотность 0,96 г/см3, пар при той же самой температуре имеет плотность не более чем 0,0006 г/см3. То есть пар имеет плотность, равную всего лишь 1/1700 плотности воды.
Этому можно найти разумное объяснение с точки зрения атомистического представления о материи. Можно предположить, что составляющие воду атомы (или группы атомов) отдаляются на значительное расстояние при переходе воды из жидкого состояния в газообразный пар, и пар имеет столь низкую плотность, так как состоит главным образом из пустот между атомами. Мы могли бы обобщить это представление и сказать: принимая во внимание, что в жидкостях и твердых телах атомы находятся фактически в тесном контакте, то в газах они находятся далеко друг от друга. Такое расположение атомов частиц газа объяснило бы не только чрезвычайно низкую плотность газов, но также и их низкое давление, небольшие силы трения и так далее.
Если это атомистическое представление верно и если частицы газа широко распространены, то газы должны быть легко сжимаемы. То есть если приложить к данному объему газа давление, то этот объем должен значительно уменьшиться. Это действительно так, и этот факт был впервые представлен научному сообществу английским физиком Робертом Бойлем (1627–1691) в 1660 году.
Он налил ртуть в открытый длинный конец J-образной трубки и запер некоторое количество воздуха в закрытом коротком конце. Добавляя дополнительное количество ртути, он повышал давление на запертый воздух на величину, которую мог измерить через разность между высотой ртути в открытом и закрытом концах. Он обнаружил, что удвоение давления на запертый газ вдвое уменьшало его объем, утраивание давления приводило к тройному уменьшению объема и так далее.
Запертый газ был всегда способен поддержать ртутный столб, находившийся с другой стороны, и, как только его объем уменьшался на соответствующее количество, давление, создаваемое им, становилось равным давлению, приложенному к нему. (Это и должно ожидаться вследствие третьего закона Ньютона, который, однако, во времена Бойля еще не был провозглашен.)
Следовательно, мы можем сказать, что для данного количества газа давление (P) обратно пропорционально объему (V); таким образом, увеличение любого из них ведет к уменьшение другого (P = k/V), поэтому произведение этих двух величин остается постоянным:
Это уравнение называется законом Бойля.
Другая формулировка закона Бойля приводится ниже. Предположим, что вы имеете образец газа с давлением, равным Р1, и объемом, равным V1. Если вы изменяете давление, увеличивая или уменьшая его, до значения, равного P2, то вы обнаружите, что объем газа автоматически изменяется до значения, равного V2. Однако согласно уравнению 10.1 произведение давления на объем должно остаться константой, так что мы можем сказать, что для данного количества газа:
И это также является формулировкой закона Бойля.
Действительно, газ так легко сжать, что давление верхних слоев столба газа сожмет более низкие слои. В отличие от столба фактически несжимаемой жидкости, который имеет постоянную плотность повсюду, столб газа значительно изменяется по плотности на разной высоте. Это особенно заметно при рассмотрении непосредственно нашей атмосферы.
Если бы газ был несжимаем как жидкость и если бы его плотность была одинаковой по всей высоте столба газа, равной, скажем, плотности на уровне морях было бы достаточно легко посчитать, чему же равна высота нашей атмосферы. Атмосферное давление равно 1033,2 грамма веса на квадратный сантиметр. Это означает, что столб газа с поперечным сечением в один квадратный сантиметр и длиной до конца атмосферы весит 1033,2 грамма. Столб с таким поперечным сечением, но только высотой в один сантиметр имеет вес 1,3 миллиграмма. Каждое дополнительное увеличение высоты столба на один сантиметр добавило бы дополнительные 1,3 миллиграмма, то есть потребуется суммарная высота приблизительно в 800 000 сантиметров, чтобы обеспечить эти 1033,2 грамма атмосферного давления. Это — высота примерно в пять миль.
Однако это не может быть правдой, потому что воздушные шары поднимаются на высоту более чем 20 миль, а менее прямые методы измерения показали существование заметного количества воздуха на высотах более чем в 100 миль.
Все дело в том, что атмосфера обладает непостоянной плотностью. По мере продвижения вверх обнаруживается, что данное количество газа находится под меньшим давлением, потому что количество воздуха выше этого уровня стало меньше. Если следовать закону Бойля, то данное количество газа должно поэтому занимать больший объем. Следовательно, по мере повышения количество атмосферы, остающейся выше точки нашего измерения, одновременно с быстрым уменьшением в весе достаточно медленно уменьшается в объеме. По этой причине действительно атмосфера не имеет никакого четко определенного верхнего предела, но постепенно уменьшается на протяжении сотен миль от поверхности Земли, уменьшаясь в плотности, пока не превратится в невероятно тонкие струйки газа, которые составляют межпланетное пространство.
Начав свой рассказ с атомистической теории, я пробовал сделать абсолютно ясным важность и значение эксперимента Бойля. Однако не следует предполагать, что один эксперимент сразу склонил мировое научное мнение к атомизму. Только в первые десятилетия XIX столетия, через полтора века после эксперимента Бойля, скопился такой вес свидетельств очевидности этой теории, что ученые наконец не смогли уже больше избегать понятия «атомизм».
Когда говорят об окончательном установлении атомизма, обычно называют имя английского химика Джона Дальтона (1776–1844), который между 1803-м и 1808 годами, основываясь в основном на своем изучении свойств газов, в которых он оттолкнулся от экспериментов Бойля, детально разработал «современную атомную теорию». (На самом деле можно сказать, что сам закон Бойля призвал атомизм к жизни, а все, что было после него, всего лишь способствовало более красивой подаче этой теории.)
В наше время повсеместно признано, что вся материя состоит из атомов, что эти атомы могут существовать в одиночку, но более часто они находятся в группах, размером от двух до многих сотен и тысяч атомов, что эти группы атомов называются «молекулами», что эти молекулы при нормальных условиях идентичны и составляют то, что мы называем «частицами материи».
Именно благодаря исследованиям свойств газов было выяснено, что они состоят из широко расставленных молекул (а точнее — из широко расставленных индивидуальных атомов), а это дало возможность посмотреть на такие физические явления, как звук и тепло, с другой и более фундаментальной точки зрения.
Жидкости могут двигаться различными способами, подобными тем, которыми движутся твердые тела. Они могут подвергаться поступательному движению, как это делают текущие реки или дующие ветра. Они могут подвергаться вращательному движению, как это делают водовороты или торнадо. Наконец, они могут быть подвергнуты колебательному движению. Вот это, последнее, мы сейчас и будем рассматривать, поскольку вибрация в жидкостях может создавать изменение формы, которое будет направлено изнутри тела наружу. Такое перемещающееся изменение формы называется «волна». Несмотря на то что волны можно создать и в твердых телах, наиболее ясно видимы и заметны они на поверхностях жидкостей. Наши далекие доисторические предки были прекрасно знакомы с волнами на поверхностях воды и научились их бояться.
Если бросить камень в середину спокойного водоема, то вес камня толкает вниз воду, с которой он вступил в контакт, и создает понижение уровня воды в этом месте. Вода фактически несжимаема, так что воде, которая идет вниз, необходимо место, чтобы «отступить». Это можно сделать только одним способом: поднятием воды в непосредственной близости от брошенного камня, поэтому центральное понижение всегда окружено кольцом приподнятой воды.
Кольцо приподнятой воды опускается назад под воздействием силы тяжести, и его вес действует подобно весу первоначально брошенного камня. Оно перемещает воду ниже себя вниз и «выбрасывает» вверх более широкое кольцо воды немного дальше от первоначального центра возмущения.
По мере того как это продолжается, кольцо приподнятой воды расходится все дальше и дальше от центра. По мере перемещения все дальше и дальше наружу полная масса приподнятой воды распространяется по все большей и большей окружности, а высота приподнятого кольца поэтому становится все меньше и меньше.
Но при этом из центра возмущения не выходит одна-единственная волна. Поскольку начальный вал приподнятой воды немедленно опускается относительно центра возмущения, это не только выталкивает вал воды вне себя, но также выталкивает воду и в центре. Центр поднимается, а затем снова опускается; действие это, если можно так выразиться, подобно тому, если бы мы бросили второй камень, что приводит к возникновению второго кругового вала воды, который распространяется по внутренней части направленного наружу первого вала. Это, в свою очередь, приводит к возникновению третьего вала… и так далее. Каждый последующий вал — более низкий, чем предыдущий, так как с каждым повышением и падением части воды часть энергии используется на преодоление внутреннего трения воды и преобразуется в теплоту. В то время как данный вал воды распространяется наружу, часть его энергии также непрерывно преобразовывается в теплоту. В конечном итоге все волны заглохнут и водная гладь снова станет тихой; однако вода станет немного более теплой, потому что поглотила кинетическую энергию падающего камня.
Чтобы создать волну, нам требуется создать начальное возмущение. Если это начальное возмущение в процессе «самоисправления» нарушает соседнюю область способом, подобным первоначальному возмущению, то мы получаем новую волну — первоначальная волна «размножается».
Если мы сконцентрируем наше внимание на некоторой точке, находящейся в пределах этой порожденной волны, то мы увидим, что некоторые свойства в этой точке возрастают и убывают, часто — периодически. В случае волн в жидкости, например, если мы рассмотрим некоторую часть водной поверхности, то обнаружим, что таким изменяющимся свойством является потенциальная энергия, поскольку эта часть поверхности сначала поднимается, а затем опускается, чтобы снова подняться.
Важно понять, что вода перемещается только вверх и вниз. Возмущение распространяется по направлению наружу, поперек поверхности воды, и поэтому случайному наблюдателю кажется, что вода перемещается по направлению наружу; однако этого не происходит! Существует только возмущение поверхности. Деревянная щепка, плавающая на воде, по которой пошла рябь, будет двигаться вверх и вниз вместе с водой, на которую она опирается, но перемещающаяся по поверхности воды рябь не будет нести щепку вслед за собой. Безусловно, волны, прибивающие к берегу ряску и камыш, несут их на себе, иной раз даже с достаточной силой; мы можем наблюдать, как волны бьют эти предметы о скалы или выбрасывают на морской песок. Однако происхождение этих волн иное — они порождены горизонтальной силой ветра, а мы рассматриваем рябь, которая возникает в водоеме от брошенного туда вертикально камня.
Представим себе поперечное сечение поверхности воды, в которой происходит возмущение от упавшего камня. В идеальном случае, если не принимать во внимание потерю высоты при увеличении окружности или потерю энергии за счет теплоты, мы имеем равномерное повышение и падение. Эти повышения и падения и являются тем, что мы обычно понимаем под словом «волна», а также и тем, что мы имеем в виду, когда говорим «волнистая линия».
В своей самой простой форме такая волнистая линия идентична той, что возникает, если мы проецируем значение синуса равномерно изменяющегося угла на миллиметровую бумагу. Для угла в 0° значение синуса равно 0. По мере увеличения угла синус его также увеличивается, сначала быстро, а затем все более медленно, пока оно не достигнет своего максимума, равного единице, при значении угла, равном 90°. При дальнейшем возрастании угла значение синуса начинает уменьшаться, сначала медленно, а затем все более быстро, снова достигая 0 при 180°, переходя после этого и в область отрицательных значений. Оно достигает своего минимума, равного -1, при 270°, а затем продолжает увеличиваться, чтобы снова достигнуть 0 при 360°. Угол в 360° может рассматриваться эквивалентным углу в 0°, так что весь процесс можно рассматривать как начавшийся снова и продолжающийся неопределенное время. Тогда в проекции графика движения мы получаем волнообразную фигуру, которая простирается по направлению наружу на неопределенное расстояние и совершает регулярные колебания между значениями +1 и –1. Именно эта волнообразная фигура (синусоида) и представляет собой форму идеализированной жидкостной волны.
Волны, подобные жидкостной волне, в которой движение каждой ее части происходит в одном направлении (в этом случае — вверх и вниз) и направление распространения возмущения находится под прямым углом к этому направлению движения (в нашем случае — направлено наружу поперек поверхности жидкости), называются «поперечными волнами» (transverse wave — от латинских слов, означающих «лежащий поперек»; движение воды происходит «поперек» линии распространения).
Точка, в которой возмущение является наибольшим в восходящем направлении (+1 на синусоиде), называется «гребнем» волны, а точка, в которой оно является наименьшим в нисходящем направлении (–1 на синусоиде), называется «впадиной». Между гребнем и впадиной находятся точки, где вода на мгновение находится на «нулевом» уровне, то есть она уже не поднимается, но еще не опускается (точка 0 на синусоиде); такие точки называются «узлами». В жидкостных волнах имеются два вида таких узлов, поскольку вода проходит через узел по мере продвижения к впадине и по мере продвижения к вершине гребня. Мы можем назвать их «восходящие узлы» и «нисходящие узлы» (позаимствовав термины, используемые для аналогичной цели в астрономии). Вертикальное расстояние от узла до гребня волны или до впадины называется ее «амплитудой».
Если две или более точки занимают одни и те же взаимные положения в синусоиде, то про такие точки говорят, что они находятся в фазе. Например, все точки на различных вершинах одной волны находятся в фазе, так же как и все точки на различных впадинах. Все восходящие узлы находятся в фазе; все нисходящие узлы находятся в фазе. Все точки, находящиеся на одном расстоянии между восходящим узлом и гребнем, находятся в фазе и так далее. Если существуют две таких волны, у которых в любой момент времени каждый гребень совпадает в пространстве или по форме с гребнем другой в тот же самый момент времени, то говорят, что части этих двух волн находятся в фазе. Возможен даже такой случай, что обе волны могут быть в фазе на всем своем протяжении таким образом — гребень в гребень и впадина во впадину.
Естественно было бы назвать точки, расположенные на одной и той же волне и находящиеся не в фазе, точками «не в фазе». И пару волн, у которых гребень в данный момент времени не совпадает с гребнем другой волны, — волнами «не в фазе».
Синусоида может рассматриваться как состоящая из одной специфической маленькой части, которая повторяет себя неопределенное число раз. Например, часть синусоиды от одного гребня до следующего может быть воспроизведена в виде печати, и если вам захочется, то полную синусоиду можно воспроизвести, отпечатывая одну эту часть, присоединяя печать справа к окончанию предыдущей, к ее окончанию — следующую и так далее. Тот же самый эффект мы получим, если возьмем часть синусоиды от впадины до впадины, или от восходящего узла до восходящего узла, или от нисходящего узла до нисходящего узла и так далее. Мы всегда можем получить соответствующий шаблон, если возьмем участок от одной точки на синусоиде до второй, находящейся с ней в фазе.