Угол
Перемещения и вращения на концах стержня:
Матрица С [20,с.70]:
Матрица интерполяционных функций, посредством которой вводится связь между перемещениями на краях и для любой точки по оси стержневого элемента:
Делитация связана с перемещением:
Для вектора деформации:
(составляющие деформации в зависимости от составляющих перемещений находятся применением матрицы оператора над матрицей интерполяционных функций).
Lматрица-оператор, для плоских задач
Arматрица интерполяции
Для матрицы интерполяции могут быть приняты функции вида:
По уравнению :
Пропуская математические выкладки, получается:
Для конечного элемента так как перемещения на концах равны нулю, матрица жесткости записывается в виде [20,с.505]:
Теперь, подставив в уравнениематрицы получится:
Вводится обозначение:
Характеристическое уравнение:
В виде многочлена (см. о решении уравнений в программе MathCAD):
Для случая б), т.е. для второй части на рисунке выше, перемещение в узле 1 и вращение в узле 2 равны 0. С учетом этого матрицы k и m уменьшаются:
Характеристическое уравнение:
В виде многочлена:
Эпюра собственных колебаний вала:
__
Итак, в разделе показаны теоретические основы расчета методом конечных элементов валов на свободные колебания.
Теорию можно сравнить с теорией ручного расчета по теории колебаний. Можно сделать вывод о том, что по теории колебаний применяется принцип Даламбера, для приближенного исследования колебаний используется метод Релея, а в расчетах по МКЭ используется вариационная формулировка по принцип Гамильтона с составлением и решением матриц.
Расчет по методу МКЭ является более обоснованным теоретически и позволяет выполнять расчет валов с мешалками и опорными узлами любой конфигурации.
Можно сделать вывод о том, что квалификации расчетчиков для расчетов ручным методом по теории колебаний и расчетов МКЭ являются приблизительно одинаковыми на основании сравнения сложности расчетных методик.
Нормативная методика по РТМ не выглядит обоснованной по сравнению с расчетами МКЭ и ручными расчетами по теории колебаний.
Мешалки
В настоящее время эффективность перемешивания определяется помещением индикатора в перемешиваемый объем аппарата (или лабораторной установки) и фиксацией времени и наличия установления равномерного распределения (окрашивания) индикатора по объему.
Такой подход нельзя считать полностью корректным. Определяются неоднородность перемешивания, распределение твердой фазы в жидком объеме др. параметры, определяющие качество перемешивания.
В вытяжной трубе при аэродинамических испытаниях автомобилей или авиационной техники, конструкцию обдувают окрашенной струей и фиксируют реакцию струи в части обтекания в зависимости от геометрической формы (конфигурации) конструкции.
Для мешалок необходимо объединить два указанных подхода.
То есть наметить структуру потоков в аппарате в зависимости от его геометрических параметров, затем выбрать мешалку, которая отбрасыванием потока жидкости от лопастей создает намеченную структуру потока. И по введению индикатора можно установить степень полноты распределения индикатора, как эффективность перемешивания.
__
Приведем структуры потоков для распространенных типов мешалок по данным Ф. Стренка [27,с.46]:
Также Ф. Стренк приводит направление тока для различных положений пропелерной мешалки [27,с.60]:
Стренк приводит изменение линий тока в зависимости от высоты установки мешалки в аппарате [27,с.104]:
Для шнековой мешалки Ф. Стренк также приводит линии тока [27,с.65]:
Используя данные и направлении токов для различных мешалок в зависимости от геометрических параметров применяемого аппарата должен выполняться подбор мешалки.
Перечень конструкций корпусов аппаратов, в которых устанавливаются мешалки, приводит Стренк [27,с.68]:
Траектория после пропеллерного устройства по данным работы Прандтля [33,с.304]:
Лопасти мешалки вступают в контакт с жидкостью поочередно. На границе лопасти происходит образование поверхности раздела. Вода между лопастями имеет скорость равную скорости лопаток, затем после выхода перемешиваясь в объеме аппарата, скорость снижается. В практике изучение перемешивающих устройств анализировалось распределение и перемешивание потоков, но не выход с лопаток мешалки. Анализ направления выхода потоков струй с лопасти позволит создавать траектории потока с заданной геометрией, а не фиксировать завихрения после той или иной мешалки.
Теория гребного винта отличается от теории крыла тем, что лопасти винта описывают винтовые линии при движении вперед, а крыло движется только вперед.
В случае гребного винта вращение снижает КПД, но в случае мешалки, вращение необходимо для перемешивания. И возникает проблема эффективного рассеяния энергии в объеме аппарата. Та энергия, которая теряется для винта, для мешалки не теряется и должна использоваться для интенсификации процесса. Однако, решение о возможности перемешивания соосными мешалками противоположного вращения без закручивания будет представлено ниже.
Васильцов [1,с.82] приводит эпюру поля скоростей для лопастной мешалки и аппарата без отражательных перегородок:
Также Васильцов приводит [1,с.100] эпюру поля скоростей для турбинной мешалки и аппарата с отражательными перегородками:
Для оценки гидродинамического режима перемешивания анализируется профиль скорости.
В работе [28,с.22] рекомендуется подбирать мешалки в зависимости от режима движения жидкости при перемешивании. В этой же работе [28,с.23] отмечается, что различие в условиях перемешивания между мешалками может быть скомпенсировано частотой вращения и диаметром мешалки. Авторы приводят пример, по которому для трёхлопастной и турбинной мешалки равного диаметра для одинакового режима движения взвешенных частиц, скорость вращения турбинной мешалки должна быть ниже. Результат авторов можно объяснить траекторией линий воздействия лопастей мешалок на жидкость.
__
Мешалки выбираются по АТК 24.201.17-90 или изготавливаются с нестандартными размерами.
Мешалки конструктивно состоят из втулки и установленных на ней лопастей. Поэтому объект мешалки можно рассматривать как базовое устройство с рядом исполнений, получаемых внесением изменений в базовую конструкцию. Например, из лопастной мешалки скручиванием лопастей получается пропеллерная мешалка, открытое пропеллерное насосное колесо, введением дисков и разнесением лопастей получаются турбинные мешалки.
Такая попытка объединить конструкции мешалок позволяет лучше подбирать геометрию мешалки под намеченную структуру потока в аппарате, определяемую направлением отбрасывания жидкости от лопастей мешалки.
лопастная мешалка с параллельными лопастями оси [20,с.254]:
трехлопастная (или шести) мешалка с лопастями под углом 30° (получается изменением угла установки лопасти):
пропеллерная мешалка с лопастью постоянного шага [20,с.256] (получается изменением шага лопасти):
изменение геометрии пропеллеров по Прандлю [33] (воздушный винт, тихоходный гребной винт, быстроходный гребной винт):
Как можно видеть, пропеллерная мешалка из винтов, представленных Прандтлем, занимает промежуточную конфигурацию между тихоходным и быстроходным гребными винтами.
якорная, рамная и листовая мешалки с увеличенными лопастями (получается увеличением размеров лопасти):
турбинная мешалка [20,с.257] (получается разнесением лопастей от втулки и введением диска):
зубчатая мешалка (получается введением вместо лопастей диска с загнутыми зубьями, выполняющими роль лопастей):
Рабочие колеса насосов [29,с.19]:
Колеса насосов по данным [29,с.328]:
Геометрия колес насосов отличается в зависимости от коэффициента быстроходности, определяемого по формуле [29,с.328]:
Для колес насосов с изменением направления подачи жидкости с радиального на осевое и изменением коэффициента быстроходности видно изменение геометрических размеров колес.
Прандтль отмечает [33], что в осевых насосах рабочие колеса схожи с гребными винтами, а, следовательно, и с пропеллерными и лопастными мешалками. Центробежные колеса имеют существенные отличия по геометрии.
__
Перемешивание без закручивания потока соосными мешалками
В работах [14], [15] Ефановым К.В. показано перемешивающее устройство, использующее эффект от противоположного вращения пропеллерных мешалок, ранее применяемый только в гребных винтах судов и на воздушных авиационных винтах.
В случае гребного винта энергия, теряемая на закручивание снижает КПД винта. Для мешалки эта энергия не теряется, а должна быть эффективно распределена в перемешиваемом объеме так как вращательное движение необходимо для перемешивания, но должно быть ограничено во избежание образования воронки. Представим ниже вариант мешалки, позволяющий реализовать перемешивание без закручивания потока.
В существующих подходах к устранению закручивания используются отражательные перегородки, направляющие цилиндры и другие аналогичные решения. Отражательными перегородками можно изменить структуру потока увеличением осевой скорости. Соосный тандем работает в режиме осевого насоса и тем самым при отсутствии других компонент в скорости, осевой поток наиболее мощный. Для процессов перемешивания мешалками закручивание потока является следствием конструкции самой мешалки, ее лопастей, а именно распределением компонент скоростей, сообщаемых потоку лопастью. Следовательно, устранением причины закручивания в конструкции самого перемешивающего устройства, можно устранить закручивание потока как следствие. Результатом устранения закручивания является возможность проведения процесса
перемешивания в более интенсивном режиме, улучшение стабильности работы перемешивающего устройства за счет устранения гироскопического и реактивного моментов, повышение КПД механической части устройства.
Новый физический принцип и параметры процесса перемешивания.
Покажем влияние и возможность использования эмерджентного и синергетического эффектов на энергетические параметры процесса и характеристики устройства перемешивания.
Интенсивность процесса перемешивания мешалкой можно оценить временем пребывания и потребляемой мощностью. Параметр потребляемой мощности, затрачиваемой на перемешивание, непосредственно связан с параметром КПД устройства. КПД непосредственно для перемешивающего устройства характеризует его эффективность по передаче механической энергии потоку. По данным [1] КПД пропеллерной мешалки приблизительно составляет 0,61.
Производительность мешалки можно характеризовать насосным эффектом (радиальным и осевым) а также кратностью перемешивания (отношением насосного эффекта к объему аппарата).
Для лопастного устройства по теории идеального винта потеря КПД происходит при закручивании потока и трении на лопастях. Очевидно, что при устранении закручивания потока вырастет и КПД устройства. И также очевидно, что закручивание потока не является неизбежным при перемешивании в случае применения соосного тандема мешалок противоположного вращения. Для воздушных винтов отсутствие закручивания на выходе показано в работе. Для гребных винтов в работе показан более высокий КПД соосного тандема по сравнению с суммарным КПД двух
составляющих винтов по-отдельности. Осевой эффект (тяга) для перемешивающего устройства особенно важен в процессах перемешивания, в начале которых необходим подъем со дна аппарата твердых частиц. Осевая тяга соосного тандема авиационных винтов выше суммарной тяги двух составляющих винтов по-отдельности (синергетический эффект), что может быть применено для процессов перемешивания.
__
Двухрядные перемешивающие устройства можно условно разделить по критерию организации вращения взаимного вращения мешалок на два типа: мешалки с совпадающим направлением и с противоположным направлением вращения вокруг оси вала. Мешалки первого типа устанавливаются на одном валу, как правило сплошного сечения, вращаемым одним мотор-редуктором. Мешалки второго типа устанавливаются на коаксиальных валах (внутренний сплошного сечения, наружный полый). Привод коаксиальных валов может быть, как через планетарный редуктор от одного мотор-редуктора, так и от двух мотор-редукторов.
Конструкция с двумя мотор-редукторами позволяет организовать вращение мешалок в одинаковом или противоположном направлении, а также изменять скорость вращения одной
из мешалок тандема, не меняя скорость вращения другой.
Схема привода коаксиального вала с планетарным редуктором позволяет настроить взаимные параметры мешалок для работы в едином тандеме для получения наилучшей гидродинамической картины. В авиационной технике и судах основной акцент внимания смещен на само лопастное устройство, его КПД, эффективность, устранение закручивания потока на выходе для снижения гироскопических и реактивных моментов. В химических перемешивающих устройствах
внимание уделяется структуре перемешиваемого потока, и геометрия лопастей с другими параметрами мешалки оптимизируются для получения нужного «отклика» потока на выходе. Принципиальные отличия потока состоят в том, что внутри сосуда линии тока образуют про-
странственный замкнутый контур, а для гребных или воздушных винтов линии тока потока не замкнуты. Но эффективность одиночного винта или пропеллерной мешалки можно оценить по единым критериям потери КПД за счет закручивания потока на выходе с лопасти.
Применив подход из авиационной и судовой техники в конструировании перемешивающих устройств аппаратов, можно получить эмерджентный по процессу эффект за счет
нового подхода к организации потока в аппарате и повышения механических характеристик устройства за счет синергетического эффекта повышения КПД и осевой тяги (синергетический эффект относится к самому механическому устройству). Совместное прочтение винтов
и пропеллерных мешалок позволяет выполнять теория идеального винта (пропеллера), применяя которую можно описывать винты и мешалки как один вид устройств (с конструктивными отличиями) с учетом различий во внешних условиях. Новый подход в организации потока получится в результате организации направления потока лопастями второй мешалки с противоположным вращением. Особенностью является тонкая настройка взаимной работы мешалок по воздействию на жидкость. Параметры лопастей каждой мешалки тандема (такие как угол установки, угловая скорость) подбираются по параметрам потока на выходе после второй мешалки. Применение мешалок с различными параметрами лопастей в одном перемешивающем
устройстве не является новым решением для более простой конструкции перемешивающего устройства с мешалками на одном валу и с одним направлением вращения.
В существующих перемешивающих устройствах с приводом коаксиальных валов
от двух мотор-редукторов наглядно видно, что такого подхода нет, а коаксиальная конструкция необходима только для выполнения мешалками раздельных технологических операций. Для такой схемы можно применять совместно тихоходные рамные и быстроходные пропеллерные мешалки (отметим, что пропеллерные мешалки являются быстроходными, но рассматривать их только как быстроходные не в полной мере корректно). Мешалки в таких устройствах могут выполнять различные технологические функции процесса перемешивания. То есть, на таких устройствах нельзя применить авиационный и судовой подход в организации перемешиваемого потока в аппарате.