Как их делают? Берут кусок теста, поднимают за края, слепляют, и получается сфера. Так что в топологии можно сказать, что сфера отличается от круга всего одной точечкой. Отсюда и возникает одна точка и ноль ребер.
Давайте к одной вершине добавим одно ребро (рис. 40). Что изменилось? Добавилось одно ребро и одна грань. То есть у нас одна вершина, одно ребро и две грани. Странно смотрится замкнутое ребро на рис. 40? Давайте тогда поставим еще одну вершину (рис. 41).
Итак: 2 вершины. 2 ребра. 2 грани: 22 + 2 = 2.
Не бывает двугранников? Да еще образованных двумя «двуугольниками»? Хорошо. Чтоб не было сомнений, добавим еще две вершинки. Получится квадрат на сфере, то есть п = 4.
4 вершины, 4 ребра, 2 грани: 44 + 2 = 2. Упорно получается значение «2».
Можно остановиться в любой момент, посчитать количество вершин, ребер и граней. Но вы должны понимать, что всегда можно привести к ситуации, в которой останется одна вершина. Поэтому у любой картинки на сфере эйлерова характеристика равна двум, ибо эту картинку можно свести к простейшему случаю «одна вершина, одна грань, ноль ребер».
Мы получаем противоречие. На торе всегда ноль, а на сфередва. Но 2 не равно 0. Значит, это разные топологические фигуры, что, впрочем, каждый из вас и так знал. Но вопрос не в том, чтобы доказать очевидный факт, а в том, чтобы наработать язык, который поможет нам этот факт заметить в других пространствах. В частности, в пространстве большего числа измерений. А в большем числе измерений верно в точности то же самое, только появляется то, что называется «трехмерные грани». И получается следующее выражение:
В^Р + Г^Т.
Здесь Тколичество трехмерных граней. Так выглядит эйлерова характеристика для четырехмерного пространства, в котором лежит трёхмерный объект. В общем случае у формулы тот же вид В^Р + Г^Т + ... и так далее, в n-мерном пространстве, которое довольно сложно представить. Если изучить, что происходит при стирании вершины, ребра, грани, трехмерной грани, будет обнаруживаться, что значение нашего выражения не изменится. Вот основываясь на примерно таких вещах, но гораздо более сложных, была установлена справедливость гипотезы Пуанкаре.
В 2002 году, когда доказали гипотезу Пуанкаре, газета «Известия» напечатала о ней статью. Помнится, в СССР было 2 основных газеты: «Правда» и «Известия». И все знали, раз написано в газете «Известия», значит факт. Но в 2002 году «Известия» отступили от этого замечательного правила, написав математическую формулировку гипотезы Пуанкаре в таком виде, в котором она являла собой полную чушь. Они не удосужились позвонить ни одному грамотному математику и очень сильно опозорились (впрочем, мало перед кем).
А теперьобещанное в первой лекции доказательство того, что в футбольном мяче ровно 12 пятиугольных лоскутков.
Рисуем на сфере картину футбольного мяча. Он должен состоять из шестиугольных и пятиугольных лоскутков. В любой вершине должны сходиться ровно 3 ребра. В остальном он может быть совершенно произвольным.
Давайте обозначим за жчисло шестиугольников, за учисло пятиугольников.
Сколько тогда граней у нашего многогранника, нарисованного на сфере, то есть на футбольном мяче?
Слушатель: Граней?
А.С.: Да.
Слушатель: х + у.
А.С.: Правильно. Ровно столько, сколько в сумме количеств шести- и пятиугольников.
Г = х + у
(Гколичество граней).
Чему равно количество вершин и чему равно количество ребер? Посчитаем наивно. Сколько вершин у шестиугольника?
Слушатели: 6.
А.С.: 6. Всего х шестиугольников. Значит, у всех шестиугольников вершин...
Слушатель: 6ж.
А.С.: А у пятиугольников?
Слушатель: Ъу.
А.С.: Значит, пишем 6ж + 5у, но это не совсем то, что надо.
Обозначим поэтому не «В», а «М»,
М = 6ж + Ьу.
А.С.: Почему это не то, что надо?
Слушатели: Потому что вершины совпадают.
А.С.: Если мы разрежем мяч на лоскутки или, наоборот, не начнем сшивать, то сколько будет вершин у всех лежащих на столе лоскутков? Именно столько, 6ж + Ьу. А когда мы сошьем, некоторые вершины совпадут. Что надо сделать с этим числом, чтобы получить правильное число вершин?
Слушатель: Разделить на 3.
А.С.: Да. Правильно, потому что ровноне больше не меньше, а ровно3 разных грани сходятся в каждой вершине:
р = м = 6ж + Ьу 3 3 '
Сколько ребер? Первый вопрос: сколько ребер до того, как мы сшивали? Столько же, сколько было до сшивания вершин:
М = 6ж + Ьу.
У любого многоугольника вершин и ребер одинаковое количество. А на что делить?
Слушатели: На 2:
D _ 6х + Ьу = 2 '
Каждое ребро мы считали ровно два раза.
Теперь мы воспользуемся формулой Эйлера. Формула Эйлера утверждает, что ВР + Г = 2. Подставим в нее выражения через «ж» и «у»:
6х + Ьу 6х + Ьу
д^ 2 +Х + У = 2.
Цель этой формулыдоказать, что у = 12. Давайте решать.
6ж : 3 = 2ж, 6ж : 2 = Зж,
2ж Зж + ж = 0.
Иксы ушли. Осталось уравнение относительно «у»:
f-| + у = 2-
Умножим все уравнение на 6, чтобы избавиться от знаменателя. Умножим и правую, и левую часть. Справа будет 12. Слева будет: 10у15у + 6у. Отсюда
у = 12.
Чудеса, да? И никакого мошенничества!
Слушатель: Что-то тут есть от фокуса.
А.С.: Курс «Математика для гуманитариев»это курс черной магии плюс ее разоблачение. В чем здесь фокус? Природа фокуса в том, что сократились все шестиугольники. Получается, они ни на что не влияют. Можно любое количество шестиугольников вклеить дополнительно в любой футбольный мяч, так как все х сокращаются9. А с «у» вы не можете сделать ничего, потому что сколько бы пятиугольников ни было у нас в запасе, их количество должно удовлетворять уравнению. А математики еще 3 тысячи лет назад научились решать линейные уравнения. У этих уравнений в нормальной ситуации всегда одно решение: у = 12единственное решение нашего уравнения. Поэтому сколько бы вас ни просили сшить футбольный мяч из 11 пятиугольниковне получится. Слушатель: А если пятиугольников будет 24?
А.С.: Вы сошьете два футбольных мяча. Один не сошьется. Где-то будут торчащие, несшиваемые части.
Давайте теперь посмотрим на обычную бесконечную во все стороны плоскость. С одной стороны, это более простой объект, чем сфера, но, с другой стороны, она бесконечна во все стороны. Бесконечностьэто такой краеугольный камень математики. И как с ней можно быть «на ты»это очень важная тема. Кажется,
плоскость, она и есть плоскость, посмотрел вокругвезде плоскость. Но ведь она бесконечная... А как, кстати, можно понять, что земля не плоская?
В принципе, как я понимаю, то что древние люди считали Землю плоскойэто сказки. Люди всегда знали, что она не плоская. Когда по морю идет корабль, сначала на горизонте появляются паруса. Как еще, кроме как искривлением, можно это объяснить?
Слушатель: Может быть, Земля не ровная именно в этом месте. ..
А.С.: От того, что ты видишь паруса, до понимания, что Земля может быть устроена как шар, уже, в общем, недалеко.
Люди, на самом деле, в прошлом совершали и более великие открытия. Знаете, когда в первый раз (по крайней мере, документально) была высказана идея о конечности скорости света? В 1676 году датский астроном Тихо Браге стал наблюдать затмения спутников Юпитера. И заметил странности в их периодичности: то затмения наступали позже прогнозируемого момента, то раньше. Тогда он предложил совершенно невероятное объяснение. Он предположил, что такое могло бы быть, если бы скорость света была конечна. Так как Земля и Юпитер то приближаются друг к другу, то отдаляются, мы видим объект, который ближе, раньше, чем тот, который находится дальше. За счет этого и возникает неполная периодичность в затмениях. Но тогда нужно было признать, что значение этой скорости настолько велико, что оно превосходит всякое наше воображение. И Браге оценил его как 225 тысяч километров в секунду. Он назвал величину, которая равна 75% от верного значения. Но тогда ученый мир был еще не готов к таким смелым идеям, и к этому предположению отнеслись с большим сомнением.
Или другая история.
У вас в сумке, наверное, живет зарядка от телефона или наушники. В каком они будут состоянии? Обычно получается страшный запутанный провод.
Вопрос: можно ли его как-то распутать, если вы еще и концы провода свяжете, чтобы он стал замкнутым, как окружность? Чтобы он стал после этого распутывания нормальной, идеальной окружностью?
Слушатель: Нельзя.
А.С.: Иногда можно, иногда нельзя. Этозадача из теории узлов. Какие-то виды узлов можно распутать, какие-то нельзя. Сейчас я расскажу историю, которая может оказаться неправдой. Я слышал ее на лекции примерно 13 лет назад. Знаменитая проблема узлов, топологических типов узлов, встала в первый раз на корабле пирата Дрейка в конце XVI века. Один из матросов этого корабля тоже занимался узлами. Он завязывал много разных морских узлов и заметил, что некоторые из нихпо сути один и тот же узел. Надо просто в одном месте потянуть, в другом приспустить шнур, и из первого узла получится второй (имеется в виду, что при этом концы узла должны оставаться связанными). Такие узлы называются «эквивалентными». И пирату в голову пришла идея классифицировать все виды узлов. Какие друг в друга переводятся без разрезания, а какие нет. Ему это не удалось, в чем, якобы, он честно признался.
Прошло 400 лет. И только совсем недавно был сделан большой прорыв в решении задачи об узлах. Сделали его отечественные математики Максим Концевич, Виктор Васильев и Михаил Гусаров.
Идея решения в том, что берут два узла, пишут для них некоторые математические выражения, и если они разные, то и узлы тоже разные.
Вернемся к плоскости. «Простой» вопрос: какими многоугольниками можно замостить плоскость?
Что значит «замостить многоугольниками»? Я имею в виду следующее. Вы заходите в магазин и выбираете себе паркет. Понравившийся вам паркет состоит из одинаковых дощечек такой формы (рис. 42):
Кто-то в страшном сне придумал такую форму. И таких дощечек у вас немыслимое количество. Вопрос: «Можно ли собрать
из них паркет? Или они при сборке входят в противоречие сами с собой?»
Слушатель: Ну. скорее всего, центр еще получится, а вот по краям комнаты будут проблемы.
А.С.: Вы. наверное, уже видите, что не всякими плитками можно замостить плоскость.
Но доказать, что какой-то конкретной плиткой нельзя замостить довольно сложная задача. На самом деле, до сих пор не классифицированы даже все виды пятиугольников, которыми можно замостить плоскость. Найдено несколько пятиугольников, которыми можно замостить плоскость, но неизвестно, есть ли другие. Открытая проблема10. Но тем не менее методами Леонарда Эйлера можно доказать следующую теорему.
Теорема. Не существует ни одного выпуклого 7-угольника, которым можно замостить плоскость. Более того, восьми-, девяти-, десяти- и т. д. угольника тоже не существует.
А что такое «выпуклый»? Выпуклая фигура это такая фигура, у которой, если вы выбрали любые две ее точки, то весь отрезок между ними лежит внутри этой фигуры, не выходит за ее пределы.
Рис. Jt3. Слова нсвыпуклая фигура, справа выпуклая.
Выпуклость одно из фундаментальных понятий математики. Такое простое определение, а на нём построена огромная сложнейшая теория с зубодробительными теоремами.
Почему же теорема требует выпуклости? Представьте себе царскую корону (рис. 44). Паркетина такой формы хотя и является 7-угольником, но он не выпуклый. Ниже мы увидим, что такими паркетинами МОЖНО замостить плоскость. Значит, если не требовать выпуклости, доказать указанную выше теорему нельзя она просто неверна. Нельзя огульно утверждать, что паркетов из 7- уголышков не бывает. Не бывает только из выпуклых.
Рис. 44- Д° царской короны страшно даже пальцем дотронуться!
Сколько углов? Семь. Однако такой плиткой можно без проблем замостить плоскость.
Переворачиваем фигурку и вставляем корону в корону, а потом еще раз. два... (см. рис. 45).
Слушатель: А в конце как?
А.С.: До бесконечности. Мы же говорим о бесконечной плоскости. Полосу сделать у нас получилось... (бесконечную в обе стороны). Ну. а если можно полосу, то мы ее размножаем неогра-
ниченно вниз и вверх, и всё. Мы «запаркетили» всю плоскость. А теперь я нарисую выпуклый семиугольник (рис. 46).
Априори совершенно не понятно, почему им нельзя замостить плоскость? Почему это так? Почему никакого семиугольника нельзя предложить в качестве дощечки для паркета? Если Ваша невеста просит Вас: «Милый, я так хочу выпуклый семиугольный паркет в нашу ванну!». то это вариант «вежливого посыла» ибо такого быть не может. Сейчас мы докажем эту теорему. И в этом доказательстве у нас в первый раз возникнет бесконечность «во весь рост». Как доказываются теоремы не существования чего-то? Какой прием доказательства таких теорем?..
Слушатель: От противного?
А.С.: Точно. Предположим, что существует выпуклый семиугольник. которым можно замостить плоскость. Не знаю какой, но какой-то есть. Предположим и приведем это предположение к противоречию. Итак, посмотрим на плоскость, которая замощена этими семиугольниками. Посмотрим на нее в «перевернутый бинокль» и увидим часть плоскости, как будто очень большую квартиру (см. рис. 47).
Я предупреждаю, такими доказательствами гоняют па ночь чертей. Приготовьтесь.
Начнем с того, что попробуем посчитать, сколько в квартире многоугольников. Давайте исходить из того, что наш семиугольник имеет длину 1 метр, а размер квартиры примерно 1 км.
На самом доле, но важно, какого что размера. Важно, чтобы вторая величина была неизмеримо больше, чем первая.
В данном случае «длина» семиугольника в 1000 раз меньше «длины» квартиры.
Слушатель: Что мы считаем длиной 7-угольника или квартиры?
А.С.: Например, самую большую диагональ. Это не очень важно. Тут математика немножко напоминает физику. Нужно несущественные детали не замечать, а на существенные обращать внимание. Когда у физика есть ниточка, она обычно имеет толщину ноль. На самом деле у нее, конечно, есть толщина, но физикам она не важна. Вот и нам не важно. Возьмем какое-то измерение семиугольника (например, любую из его сторон или любую диагональ). Ведь все эти измерения НАМНОГО МЕНЬШЕ, чем «длина квартиры» что бы мы ни понимали под этой длиной. На полу квартиры в нормальной ситуации помещается очень много паркетин. Форма пола квартиры тоже неважна, поэтому будем считать
его кругом радиуса R (где R может быть как угодно велико).
Не забывайте, что нам приказано замостить не пол в квартире, а всю бесконечную плоскость.
А теперь давайте посмотрим, сколько примерно семиугольников таится внутри вот этого огромного круга? С точностью до порядка? Если у нас диаметр круга в тысячу раз больше, чем диагональ семиугольника, сколько семиугольников примерно поместится в круг?
Слушатель: Миллион?
А.С.: Миллион, правильно. Правильный физический ответ. Миллион. Не важно, что это будет 700 ООО или 5 миллионов. В районе миллиона. Порядок величины такой. Это примерно миллион.
Слушатель: Почему миллион?
А.С.: Потому что у многоугольника размером 1 метр площадь сопоставима с 1 м2может быть, чуть меньше, чуть больше. У круга, у которого диаметр 1 километр, площадь порядка 1000000 м2. Значит, в круг влезает примерно миллион семиугольников.
Зададим теперь следующий вопрос. Сколько примерно семиугольников «живет» в районе границы этого круга (то есть зацепляет за границу круга)?
Слушатель: 6000.
А.С.: Да, похоже. 2жг = 6000. Порядок этого числане миллион, а тысяча. То есть внутрь входит в районе миллиона семиугольников, а на границе их несколько тысяч. А теперьвнимание! Я стираю все многоугольники, которые не лежат в этом круге. Затем беру плоскость и, как грузинский хинкали, сжимаю ее в сферу (рис. 48).
Делаю я это, чтобы воспользоваться формулой Эйлера:
В^Р + Г = 2.
Грубо говоря, вместо круга есть поверхность огромного шара, у которого верхняя шапочка (почти плоская) вся испещрена семиугольниками. Но для картинки на всей большой сфере верна фор-