мула Эйлера:
В ^ Р + Г = 2.
Давайте оцепим примерно, сколько у этой картинки будет вершин, ребер и граней? Одна огромная грань снизу, а наверху порядка миллиона граней в виде паркетин. Понятно, что одна грань погоды не делает. Более того, так как мы сейчас будем иметь дело с величинами порядка миллиона, то 2 в формуле Эйлера, или О тоже совершенно неважно. Я могу написать «примерно равно нулю». ВР + Г примерно равно 0. Или В + Г и Р. Граней порядка миллиона. Г и 1000000.
Сколько вершин? 7000000 это вершин у всех многоугольников; и в каждой из вершин сходится как минимум 3 многоугольника. Может быть и больше (например, если у нашего 7-угольника есть острый угол в 30 градусов, и в вершине сошлись 12 этих острых углов), но не меньше это точно (ровно два угла не могут со всех сторон окружить вершину, ибо каждый из них меньше 180 градусов). Поэтому вершин «не больше» (меньше или равно), чем 7000000/3. На самом деле я не учел вершины, которые являются вершинами большой нижней грани. Сколько их примерно?
Слушатель: 6000.
А.С.: Да. Поэтому надо прибавить еще 6000. Нам не жалко!
7000000/3 + 6000.
Но шутка матанализа заключается в том, что 7000000 и 6000 не сопоставимы по величине, так как первая величина значительно
В 7000000/3.
Теперь о ребрах. Ребер будет 7000000/2. Причем делим в :точности на 2. без всяких меньше или равно, потому что каждое ребро мы посчитали ровно 2 раза:
Р = 7000000/2.
Слушатель: А почему мы каждое ребро посчитали ровно 2 раза?
А.С.: Потому что мы плиточку к плиточке прикладываем, без всяких зазоров (мы ведь предположили, что можно уложить без зазоров), см. рис. 49.
Рис. 49- Плиточка к плиточке! Ребро к ребру! Без зазоров!
Слушатель: Почему в теореме взято 7 сторон и более?
А.С.: Потому что шестиугольное замощение давно известно, например. его знают наши друзья пчелы. Пятиугольное может быть таким: поставил домики рядом и сверху такие же. но вверх ногами (см. рис. 50). Домики, в отличие от царской короны, которую мы в самом начале рисовали, выпуклые.
А уж квадратами, треугольниками замоститьэто совсем легко. Любым четырехугольником можно замостить плоскость и любым треугольникомтоже. А вот какими пятиугольниками можноэто сложная задача. И про выпуклые шестиугольники тоже далеко не всё известно. Но какими-то можно. А вот выпуклыми семиугольниками уже никак нельзя.
Давайте все-таки доведем до конца доказательство.
У нас есть равенство
В + ГяР.
Оно говорит нам, что количество ребер должно быть того же самого порядка, что и количество вершин плюс количество граней. Подставим наши значения.
70°0000 ^ 1000000 +7000000.
d
Если посчитать, сократив на миллион и умножив на 6, равенства не получается. Очень заметно не получается! Потому, что 21 не равно 20. Так что никакая добавка слагаемого типа 6000 дела не спасет, ибо эту добавку тоже придется делить на 1000000, и она станет исчезающе малой. А ведь мы могли взять не R = 1000 км, a R = 20000 км. Тогда бы процентное влияние добавки типа «6000» стало бы гораздо меньше. То же самое, естественно, будет
с восьми-, девяти- и прочими «много-много-угольниками». А вот для шестиугольников как раз получается
6000000/2 = 6000000/3 + 1000000 3000000 = 2000000 + 1000000 (при любом значении R).
Точное равенство получается потому, что шестиугольное замощение устроено так, что в каждой вершине сходится ровно 3 ребра. А вот уже 5-угольное замощение устроено иначе. Иногда 3 ребра сходится, а иногда4. У квадрата везде сходятся 4, а у правильных треугольников6 ребер (рис. 51).
То есть выпуклое замощение бывает треугольное, четырехугольное, пятиугольное, шестиугольное. А никаких других не бывает.
Слушатель: А какая практическая польза?
А.С.: Ну, наверное, есть какая-то. Математик никогда не думает о практической пользе. Другие за него думают. Посмотрит какой-нибудь строитель: «О, значит не надо даже думать о том, чтобы использовать семиугольные плитки». А для математика нет такого вопроса. Это же совершенство. Это всё равно, что спрашивать, какая практическая польза у молитвы. Так же и математик, он просто показывает: нельзя,ура, вот какая интересная теорема. А польза? Наверняка какая-то польза есть. У любого красивого факта есть польза.
Врезка 4. Ни один из слушателей не спросил у меня: «А где же в доказательстве теоремы используется тот факт, что исходный семиугольник был выпуклым?» И даже сложилось превратное впечатление, что для проведения доказательства выпуклость 7-угольника вообще не нужна. Но она нужна! Ведь иначе получилось бы, что мы заодно доказали, что для невыпуклого семиугольника тоже нельзя придумать замощение плоскости таким кусочком. Выше, однако, приведен пример, что 7-угольным кусочком типа «царская корона» вполне можно замостить плоскость.
На самом деле выпуклость была незаметным образом использована, когда мы поделили число 7000000 именно на 3. Только для выпуклого 7-угольника можно опираться на число 3. На рис. 45 паркет содержит такие вершины, где сходятся только две плитки паркета (и на одной из них имеется угол БОЛЕЕ 180 градусов). Подобное явление, однако, возможно только для невыпуклых плиток: любой выпуклый многоугольник содержит в себе только углы менее 180 градусов.
А.С.: Скажу напоследок вот что. Если кого-то не убедят тысячи и миллионы, надо будет сказать следующее. Если круг в п раз больше по размеру, чем плиточка, то количество граней, вершин и ребер имеет порядок п2, потому что их количество связано с площадью круга. А то, что в районе большой окружности «живет», имеет порядок п, потому что вопрос связан с длиной окружности. И если вы исследуете некоторое выражение порядка п2, например,
Ti2 7 /I2 9
г,Ь п , и при этом во все слагаемые примешивается мелочь порядка п: 2п, 3п, 6п и так далее, то матанализ разрешает ее стереть, потому что п2 и п «разного порядка роста». И неравенство будет верным при любом п, начиная с некоторого места. (А именно с того места, когда п2 станет подавляюще большим по сравнению с п.)
В матанализе есть основной принцип: если вы про какое-то число показали, что оно меньше сколь угодно малого положительного числа, то вы доказали, что оно равно нулю (если оно изначально не было отрицательным). Вот вы получили какое-то число, вы хотите доказать, что оно равно нулю. Покажу типичный
прием матанализа. Пусть есть число а. Рассмотрим такое число,
1 как , и покажем, что наше число меньше, чем . Допустим,
это мы доказали для любого натурального значения п. Для 1000, для 1000000, для 1000000000. .. Если вы умеете доказать такое неравенство для любого п, значит, вы умеете доказать, что а равно нулю.
Вот в этом, собственно, весь принцип матанализа и заключен. Всё остальное, что есть в матанализе: интегралы, производныене более чем упражнения с этой логикой (математики говорят в этом случае: «Применим технику работы с порядками бесконечно малых»),
И самый последний пример. Мне рассказал его папа, когда я еще даже в школу не ходил. Папа взял яблоко, отрезал от него половинку и говорит: «Это сколько от яблока?»«1/2»,сказал я.«А если теперь я к этой половинке прибавлю половинку оставшейся половинки, то это что здесь надо написать?»
Слушатель: 1/2 + 1/4.
А.С.: А если я проделаю это бесконечное количество раз? Тогда что я получу?
1111
++Н h =1
4 816
Слушатель: Ноль.
Другой слушатель: Единицу.
А.С.: Я получу число один, причем в точности число 1.
Почему в точности? Потому что каждый раз число получалось
не больше единицы, это очевидно. Значит, мы не можем получить
число больше единицы. Но какое бы маленькое число мы не взяли, 1
в конце концовстанет меньше его. На самом деле у нас в знаменателе вместо п стоят степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192...
1
Они очень быстро растут, поэтомуочень быстро уменьшается. И в итоге очередное расстояние до числа «1» станет меньше любого наперед заданного числа. То есть они уходят в ноль. Получается, что наша сумма неограниченно приближается к единице, и вот тогда математик говорит: «Следовательно, она равна единице». Всё. Вот он, предельный переход. Это то, что учат в матанализе на любом факультете любого вуза. Больше ничего в нём нет11.
Слушатель: А если здесь просто включить житейскую мудрость и подумать, что мы отрезали от одного целого яблока?
А.С.: Да. В данном случае можно. Но житейская мудростьона такая штука, что она иногда не работает. Давайте решим такую задачу.
1
Кузнечик сначала прыгает на один метр, а потом на ^ метра,
111 а потомна тг, а потомна т, а потомна. и так далее...
о 4 о
Вот он прыгает и прыгает. Есть ли предел того, куда он может
допрыгать?
Слушатель: Да.
А.С.: При наивном подходе кажется, что есть, потому что «шажки все меньше и меньше». Но тем не менее, друзья мои, вы будете смеяться, или удивляться, или поражаться, или возмущаться, но
(т. е. эта сумма равна бесконечности).
Нет никакого предела тому, куда может дойти этот кузнечик. Никакого. Он может дойти до Луны, может дойти до Солнца, и далее, прямо в Космос!
В прошлом примере у нас шажки были всё меньше и меньше, они стремились к нулю, но в сумме получилось число, равное единице. А эти шажки, хотя и тоже всё меньше и меньше, но уйти этими шажками можно до бесконечности, вот такая загадка природы. Хотите, покажу, почему?
Слушатели: Да.
А.С.: Вот смотрите, сейчас я с кузнечиком сделаю страшную штуку, я сейчас его заменю на кузнечика, который шагает еще медленнее. А именно: кузнечик этот будет шагать следующим образом.
то есть вместо одной трети, он шагает на одну четверть. Не правда ли, такой кузнечик будет отставать от первого?
Слушатель: Да.
А.С.: А теперь вместо одной пятой я сразу одну восьмую поставлю. То есть первый кузнечик на одну пятую шагает, а мой, второйон сразу прямо рази «скис»только на одну восьмую. И так 4 раза по одной восьмой:
1+1+1 1 1+1+1+1
4 4 8 8 8 8
А вместо одной девятой я напишу что?
Слушатели: Одну шестнадцатую?
А.С.: Правильно. Одну шестнадцатую, и так повторим эту добавку 8 раз. А дальше я что напишу? Вместо одной семнадцатой? Слушатель: Одна тридцать вторая.
А.С.: Одну тридцать вторую. Отлично. И повторим ее 16 раз!
1+1+I+I+I+1+I+1+
4 4 8 8 8 8
111111111
-I=I=I=I=I=I=I=I=I=I-
16 16 16 16 16 16 16 32
Похоже, что второй кузнечик всё время отстает от первого. Небось, он совсем отстанет от него: ведь первый, как мы утверждаем, ускачет на бесконечное расстояние. Нет, самое страшное здесь вот
что. Хоть второй и отстает, но он ТОЖЕ ускачет на бесконечное
1 1
расстояние. Чему равна сумма -j- + -j- (двух равных слагаемых)?
1
Слушатель:
А.С.: Отлично. А такая:
1+1 + 1 + 1?
8 8 8 8
Слушатель: Одна вторая.
А.С.: Тоже одна вторая! А для шестнадцатых долей? Слушатель: Тоже одна вторая.
А.С.: Теперь вы поняли, почему он дойдет до бесконечности? Слушатель: Нет.
А.С.: Потому что мы каждый раз, в каждой очередной группе шагов, будем получать в сумме Значит, он всё снова и снова отходит на 0,5. А таких «одних вторых»-то бесконечное количество штук. Вот он и уйдет на бесконечность.
1 + 1 = 1 4 4 2
1111 = 1
8 8 8 2
111111111
I-I-I-I-I-I-I =
16 16 16 16 16 16 16 2
и так далее. Значит, на бесконечность тем более ускачет и первый кузнечик!
Но самое неожиданное я приберег на конец. (Берёт в руки мяч и держит его над полом.) Уроним этот мяч и послушаем, сколько раз он ударится.
Слушатель: Бесконечность.
А.С.: Правильно. Бесконечность, но она будет «преодолена» за конечный промежуток времени. Законы физики это подтвердят. Единственное, что, к сожалению, в атомных размерах законы физики меняются (надо применять квантовую механику), и эта идиллия прекращается. Но если бы ньютоновская механика была верна до самого конца, то любой мяч, если его отпускают, за конечное время делал бы бесконечное число подскоков. То есть он устроен, как задача с яблоком. Потому что каждый следующий подскок, по законам физики, составляет по высоте некоторый процент от предыдущего. Но процент от любой положительной величиныэто положительная величина. Поэтому каждый следующий подскокэто тоже положительная величина, а значит, их будет бесконечное количество. Но они суммируются по времени. Время подскоков суммируется, а сумма стремится к некоторому числу. Временные промежутки будут всё короче и короче и, грубо говоря, за 2 секунды мяч уже бесконечное число раз подпрыгнет и ляжет на землю тихо. За конечное время бесконечное количество прыжков...
До встречи на лекции 3!
Лекция 3
А.С.: В прошлый раз я успел поговорить про бесконечность. Умение работать с бесконечностью, умение через бесконечность перешагивать, умение различать разные бесконечностиэто основная работа в математике. Как могут быть разные бесконечности? Кажется, что либо что-то конечное, либо бесконечное. Но нет. На самом деле бесконечности бывают разные. На прошлой лекции мы говорили про сходящиеся и расходящиеся ряды. То есть рассматривали суммы с бесконечным количеством слагаемых.
111
Например, сумма 1+2 + ^ + ^ + -- -, как выяснилось, стремится к бесконечности. То есть становится больше любого наперёд заданного числа. Скажите ей: «Будь больше 1000». Тогда нужно взять много слагаемых.
Возьмем 22000 членов. Оказывается, тогда их сумма будет больше 1000. Скажете: «Будь больше 1000000». Тогда нужно взять 22000000 член0в. Их сумма будет больше миллиона. И так далее.
111
А вот этот ряд: 1 + ^ + т + ^- + ... тоже состоит из бесконечного z 4 о
числа членов, но его сумма никогда не станет больше, чем двойка.
Теперь еще одна интересная задача. Начнем издалека. В 2000 году, где-то зимой, мы были в лесу в районе станции Радищево, праздновали чей-то день рождения. Вокруг было очень мало сухих деревьев, все спилили до нас. Было только огромное, совершенно сухое дерево. И это дерево огромного размера стояло и очень нас заманивало. У нас была двуручная пила, и мы начали пилить. Пилили-пилили, пилили-пилили и допилили. Дерево сделало «тцук...» и село на нашу пилу. Пила осталась внутри, а полностью спиленное дерево стоит и падать не собирается (рис. 52).
Но стоит подуть ветру, и оно упадет. В какую сторону оно упадетсовершенно не предсказуемо. Что делать? Надо или вставать и уходить, написав со всех сторон «внимание, внимание, до ближайшего ветра сюда не подходить», или пытаться уронить дерево. Мы решили с ним побороться. Взяли вспомогательное де-
рево и прислонили ого к спиленному где-то на высоте десяти метров. Навалились, и оно поддалось (рис. 53).
Было видно, как дерево начало падать. Но скорость была чудовищно медленная: несколько сантиметров в секунду, едва-едва. Где-то минуту мы ждали, пока оно медленно наклонялось, и только потом оно начало ускоряться и через несколько мгновений рухнуло со страшным грохотом. Пришел я домой и написал уравнение падения дерева. В физике траекторию движения системы под действием сил можно выписать в виде уравнений. Такие уравнения называются дифференциальными,. Это означает, что скорость изменения скорости, то есть то, что называется ускорением, зависит от сил, которые действуют на тело. Это один из основных законов физики, он позволяет свести всё, что есть в обычной, не квантовой, механике, к системам уравнений. Можно выписать такое уравнение и для нашего дерева. И к своему удовольствию, исследовав это уравнение, я пришел к выводу, что, если дать дереву толчок очень маленькой силы, оно начинает падать очень, очень, очень медленно.
Я начинаю рассуждать, что дерево это просто вертикальная палка, без толщины. Она стоит совершенно вертикально, но обладает массой. Массивная вертикальная палка. Кто-то толкает ее сверху. Ударит человек палка падает (скажем) 1 минуту. Пролетит голубь, заденет будет падать 10 минут. Начальная скорость верхней точки будет, скажем, 1 мм/с. И очень долго скорость почти не будет меняться. А если врежется муха, то палка будет падать час. Уравнение выдает удивительный результат: на самом деле нет никакой границы на время падения дерева, вообще никакой.
Рассмотрим похожую задачу. Есть вагончик, в котором на шарнире установлена тонкая железная вертикальная палка. Чуть- чуть вправо или влево она падает, так же, как и рассмотренное выше дерево.