Математика для гуманитариев: живые лекции - Алексей Владимирович Савватеев 8 стр.

Теперь представьте обратную задачу. Вы берете уже упавшую или под некоторым углом висящую палку. После чего придаете ей некоторый импульс толкаете ее снизу вверх (рис. 55).

Какие возможны варианты? Во-первых, толчок может быть слишком слабый. Что произойдет с палкой? Поднялась и упала обратно. Теперь, допустим, подошел какой-нибудь бугай. Бабах

по этой палке. Она р-раз и перелетела на другую сторону. Под­ходит кто-то немножко более сильный, чем я. но слабее, чем бугай, Толкает палку, а она всё равно падает.

Вы качались на качелях-перевертышах? Мое детство отчасти проходило в городе Мценске. И в парке там была такая закрыва­ющаяся изнутри кабинка с противовесом наверху, которую раска­чиваешь. раскачиваешь, раскачиваешь, и она «переворачивается»; противовес оказывается внизу, а кабинка сверху (но благодаря сво­бодному подвесу кабинка при этом вверх ногами не переворачива­ется). Я замечал, что наверху она долго движется с более-менее постоянной скоростью. Мы знаем, что с постоянной скоростью дви­жутся тела, на которые не действуют силы. На кабинку силы, ко­нечно, действуют, но вертикально вниз. В момент, когда кабинка проезжает верхушку, сила перпендикулярна линии движения, по­этому скорость почти не меняется. И если аккуратно выверить цвижение, то кабинка практически остановится наверху.

Вернемся к нашей палке и нарисуем график. По горизонтальной оси сила удара, по вертикальной результат (рис. 56).

Если вы ударили слишком слабо, то результат будет палка упадет обратно. Если очень сильно ударить, то результат палка перевернется на другую сторону. И есть ровно одно вещественное число, одна сила удара, которую нужно придать палке, чтобы она остановилась вертикально. Вопрос. Сколько нужно времени в иде­альном мире, в котором нет воздуха, трения и так далее, чтобы палка заняла вертикальное положение?

Слушатель: Смотря под каким углом было изначально.

упало сила удара

Рис. 56. Построение графика ступенчатого вида («отклик на удар»).

А.С.: Нот. От того, под каким углом была изначально пал­ка. зависит только то. с какой силой нам надо толкнуть палку. А времени понадобится бесконечный промежуток. Строгая мате­матическая бесконечность. То есть, если палке придать такую си­лу. которая в точности достаточна для того, чтобы она достигла положения вертикального равновесия, то время, за которое пал­ка будет достигать этого положения, равно плюс бесконечности. В условиях задачи, когда мы говорим об идеальной математике, мы. естественно, не учитываем, что вокруг меняются обстоятель­ства. В идеальной ситуации время равно бесконечности. Я посчи­тал всё это в 2000 году, потом рассказал физикам, а они сказа­ли. что это очевидно, и всё они это давно знали. Наверное, кому- нибудь не хочется верить, что потребуется бесконечное количество времени. Я дам еще одно подтверждение. Давайте вернемся к те­лежке. Пусть это будет вагон, внутри которого находится наша палка на шарнире. Вагон едет по маршруту Москва Петербург. И мне сообщили, с точностью до 100% (так. как у математиков бывает, а в жизни нет) информацию о скорости, с которой вагон будет двигаться (рис. 57).

Утверждение. Существует такое положение палки, такой угол, в котором я могу ее выпустить из рук в начальный момент вре­мени. что она не упадет в течение всей дороги. Существует такой угол альфа, что. если я придам железке на шарнире этот угол, то она всю дорогу будет болтаться туда-сюда, но никогда не упадет.

Обоснование этого факта изложено ниже.

Эта задача разобрана в книге, которую я всем рекомендую: Р. Курант. Г. Роббинс. «Что такое математика?». Еще раз отмечу, что мне в этой задаче известен точный график движения поезда.

Ключ к решению этой задачи в использовании идеи непре­рывности,. Мы один раз уже с ней столкнулись в предыдущей за­даче: есть такой импульс, получив который, палка не упадет ни направо, ни налево. Она встанет вертикально, но через бесконеч­ное время. Задача про вагон, в котором движется железный стер­жень на шарнире, напрямую относится к предыдущей. Давайте посмотрим. Если палка уже лежит, то она будет всегда лежать. Она никогда никуда не встанет. А теперь рассмотрим для каждо­го начального угла поворота этой палки, в какое положение она в конечном счете ляжет: направо или налево. А если она останется висеть, значит, мы нашли то. что нам нужно.

Если палка ляжет, то она ляжет в одно из этих двух положений. Причем уравнения движения таковы, что если чуть-чуть поменять угол, совсем чуть-чуть, сторона падения не изменится. Если пал­ка падала направо, то чуть-чуть изменив угол, вы не измените

результата. Она всё равно упадет направо. Тем самым, если в од­ном положении она падала, скажем, направо, значит, и в близ­ких начальных положениях она тоже должна падать направо. То есть, как говорят математики, множество положений, в которых она упадет направооткрытое множество. «Открытое»зна­чит, вместе с какой-то точкой содержит все близкие к ней точки. Если из какого-то положения палка падает, то из всех достаточно близких положений она упадет в ту же сторону.

Интуитивно понятно, что мы можем всегда приподнять палку настолько мало, что она непременно упадет обратно. Давайте ме­дленно изменять положение палки. В каких-то положениях она будет падать направо, а в каких-тоналево. Значит, где-то есть переход, угол, такой, что всюду справа она падает направо, всюду слеваналево12. Что же это за угол? Единственный факт, кото­рый мы можем сообщить про этот угол, это что для такого угла палка не упадет вообще. Ничего другого про него не известно. Па­радоксально, но это факт! Если вы в это поверили (а я вас не обма­нываю), тогда в том, что в близком к вертикальному положению палка может находиться сколь угодно долго, вас убедит следую­щее соображение. На стоянке в Бологом поезд может стоять 10 минут, а можетчас. И в течение этого часа палка не упала. Она ведь не падала всю дорогу, в частности, она не упала и в течение стоянки. Что же она делала в это время?

Слушатель: Двигалась.

А.С.: Она находилась очень близко к вертикальному положе­нию. Потому что, если бы она чуть-чуть от него отклонилась, она рухнула бы. Поэтому во время стоянки она была очень близко к вертикальному положению. А так как стоянка может быть сколь угодно долгой, из этого следует, что палка в районе вертикального положения может находиться сколь угодно долго. Поэтому-то она будет подниматься в него бесконечное время.

Этонаше второе знакомство с бесконечностью. Сейчас будет третье.

Слушатель: Гвоздь программы.

А.С.: Бесконечность это гвоздь программы, безусловно. По­тому что бесконечностьэто центральное понятие в математике. Математикаэто шаг через бесконечность. Освоение математи­киэто когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику. Этонаука о бесконечности. В этом смысле мате­матика и религия дополняют друг друга. Религияэто знание

о бесконечности, математикаэто наука о бесконечности. Это две ипостаси бытия.

Сейчас мы поговорим о бесконечности в некотором другом раз­резе, геометрическом.

Помните ли вы, что такое квадратный корень? Корень квадрат­ный из 100это 10. Потому что 10 х 10 = 100. А вот что такое корень квадратный из двухэто не так понятно. А что такое рациональное число? Если вы не знаете, не страшно. Но что та­кое целое число, знают все. Целые числаэто ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть и так далее в положительную сторону, но также минус один, минус два, минус три, минус четыре и так да­леев отрицательную. У древних была большая проблема с от­рицательными числами. Число, бесконечность, уравнениеэто всё то, с чем математики всё время имеют дело. Что такое число? Для древних числоэто то, чем мы считаем предметы. Более того, до сих пор натуральными числами часто называют числа, используемые для подсчета предметов. Нольэто для древних уже было что-то странное. Число или не число? Натуральное ли оно? Нольэто отсутствие предметов. Отсутствиеэто количе­ство или нет? Сколько крокодилов в нашей комнате?

Слушатель: Ноль.

А.С.: Значит, вы считаете, что ноль все-таки натуральное чи­сло13. А отрицательных чисел у древних греков не было. Вот если бы математика началась в России, то проблем с этим не было бы.

Потому что 1, 10 это мороз, снег идет. Всё понятно на ули­це отрицательная температура.

Когда я учился в школе, к нам как-то приехали американ­цы. И они сказали, что уровни умственного развития школьников в России и в Америке различаются как небо и земля14. На что я за­метил, что всё очень просто. В Америке редко бывают отрицатель­ные температуры, и поэтому у школьников есть проблема с пости­жением отрицательных чисел. Американец сильно задумался (тем более, что у нас градусы Цельсия, а у них Фаренгейта!).

Действительно, у нас и трехлетние дети знают, что такое ^5 и3. Это когда снег, и мама на голову шапку надевает.

Это вот ваш градусник (рис. 58).

Нулевая температура. А может. 1. 2. 3, 1, 2, 3 ... градусов. Но между ними тоже что-то есть.

Слушатель: Да.

А.С.: Я же могу сказать, что сейчас два с половиной градуса выше нуля?

Слушатель: Да.

А.С.: Или три и три четверти градуса.

Слушатель: Да.

А.С.: То есть я могу назвать доли. Их сейчас даже в детсаду рассматривают.

Пришло ко мне на день рождения 15 детей. И, допустим, у меня

есть 23 яблока. Я взял нож и аккуратно разрезал яблоки на 15

23

равных частей каждое. Каждому ребенку достанется ^ яблока, то есть по 23 дольки.

Эточисло между единицей и двойкой:

1§2.

15

Такие числа древние отлично знали. Мы их называем рациональ­ными, а они их называли дробями или просто числами. Рацио­нальное числоэто число, которое может выражать количество яблок, разделенное на количество детей. Пришло вот к вам «п», целое ненулевое число детей, а у вас имеется «т»целое число яблок. Получаем рациональное число Числитель дроби может быть меньше нуля.

Ну, скажем, у вас было ^5 яблок, и пришло 7 детей. Каждый получил яблок.

Слушатель: Бедные дети...

А.С.: Или вы позвали 30 гостей на день рождения и сказали: «У меня ^700 тысяч рублей, в смысле, я должен за квартиру 700 ты­сяч рублей. Скиньтесь, пожалуйста, поровну». Вот вам и минус:. Когда вы говорите о таких вещах, как долги, то сразу выле­зают отрицательные числа. Я предлагаю вам понять, что все эти

к

числа живут где-то на числовой прямой. Число ^ живет где-то ме­жду нулем и единицей (рис. 59). Давайте начнем шагать по оси

шагами в одну сотую. Мы, на наш взгляд, целиком замостим нашу 211 135 прямую: ТОО ^{И Т}'^Д'

И замостить вы можете сколь угодно плотно, можно ведь ша-

1 1

гать шагами, равными или . Где бы вы ни сидели

I 1 1 1 lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll 1

-3-2-1 О 1 2 3 4

Puc. 59. Шаги-то получились меньше, чем точка от мелка!

па числовой оси, где-то рядом с вами, очень близко живет число тп

вида .

Математики употребляют в такой ситуации страшный термин «всюду плотное множество». Это такое множество, в котором, куда бы вы ни сунулись, в любой близости от вас будут точки этого множества. Рациональные числа образуют всюду плотное множество на числовой оси. Вроде как вся прямая ими заполнена. Вполне можно было бы ожидать, что никаких чисел больше нет. Это логично, но это неправда. Древние обнаружили, что есть чи-

ТП

ела, заведомо не представимые в виде ни при каких целых m и п (врезка 5).

Врезка 5. «Причина смертикорень из двух!»15

Говорят, что пифагорейцы (ученики знаменитого философа и математика Пифагора) сначала верили, что для вычислений вполне хватает положительных рациональных чисел, и что в этом проявляется божественная гармония окружающего мира. Однако «не в меру способный» ученик Пифагора додумался до того, что строго доказал НЕИЗМЕРИМОСТЬ диагонали квадрата (с еди­ничной стороной) с помощью рациональных чисел. Пифагорейцы в гробовом молчании выслушали его доказательство и не смогли его опровергнуть. Гармония мира оказалась под угрозой! Поэтому было принято решение: никому про это не рассказывать, а наруши­теля мировой гармонии наказали... утоплением в реке, на берегу которой всё это и происходило. К счастью для математики, истина потом всё равно «воссияла».

Вот я и утверждаю, что корень из двух именно такое чи­сло. Возьмем 4 квадрата со стороной единичка. И составим из них новый квадрат (рис. 60).

Какой площади один маленький квадратик?

Слушатель: 1.

Какой площади будет получившаяся фигура?

Слушатель: 4.

А.С.: Теперь я делаю следующее. Я провожу диагонали (см. рис. 61) и спрашиваю вас. чему равна площадь получившегося вну­три квадрата?

Слушатель: 2.

А.С.: Почему? Потому что в каждом маленьком квадратике ровно половину взяли, а половину не взяли. Итак, совершенно очевидно, что площадь этой фигуры вдвое меньше, чем у боль­шого квадрата. С другой стороны, мы знаем, что если у квадрата сторона а, то площадь его равна а · а = а².

Нам нужно найти сторону квадрата с площадью 2. А это и есть корень из двух. Значит, если у квадрата сторона 1, то его диагональ имеет длину «корень из двух» (рис. 62).

Рис. 62. Сторона внутреннего квадрата равна корню из двух по двум причинам: алгебраическая причина теорема Пифагора и определе­ние корня; геометрическая причина соотношение площадей наружного и внутреннего квадратов равно двум.

А.С.: Из школьного курса вы знаете теорему Пифагора.

Слушатели: Да.

А.С.: Теорема Пифагора говорит, что квадрат гипотенузы ра­вен сумме квадратов катетов16. Давайте я покажу доказательство этого без единой формулы. Теорему Пифагора не нужно доказы­вать формулами, ее нужно просто узреть, увидеть, она видна. Вот смотрите, я беру вот такое равенство: а² + Ь² = с².

щади и из площади второго квадрата те же 4 площади. Значит, площади оставшегося должны быть одинаковыми. В одном случае остается с², а в другомсумма а² + Ь². Значит,

2 , 1,2 2 а + о = с .

Теорема Пифагора доказана. Но это было небольшое отступление. Я хотел сказать, что диагональ квадрата со стороной 1 по теореме Пифагора равна корню из двух, согласно тому, что я нарисовал, она и в самом деле ему равна. Древние ничего не могли с этим числом поделать. Потому что, если отложить отрезок, равный на­шей диагонали, от нуля, то вы попадете в точку, которая заведомо не равна никакому числу вида Щ. Ни при каких тип. Вы пере­берете все целые числа, и в числителе, и в знаменателе, и никогда не получите число, которое в точности совпадет с корнем из двух.

Есть очень много разных доказательств этого факта, и одно из них совершенно геометрическое. Мы разберем ниже два разных доказательства.

Мы сейчас придумаем некую процедуру, которую мы приме­ним к любому рациональному числу, и она всегда будет конечной. А дальше, я вам покажу, что та же самая процедура для числа «корень из двух» никогда не прекращается, тем самым это чи­сло не может быть рациональным

Слушатель: То есть это несуществующее число?

А.С.: Существующее, но не в этом круге подозреваемых лиц. Это число существует, и оно очень нервировало греков, они не хо­тели допустить, что оно существует. Однако они отлично знали, что оно нужно для вычислений, но не выражается в виде отноше­ния целых чисел. Они не понимали, что с ним делать. Вроде чи­сло не существует, а оно-таки есть. Оно не должно существовать, но оно существует. Числа, которые не представляются в виде Щ, называются иррациональными.

Что такое вообще «иррациональность»? Нелогичность. Нера­зумность. Иррациональное поведение, например. Но в математике, в отличие от философии, есть совершенно конкретные объекты, иррациональные числа. Это такие числа которые не представля­ются в виде Щ-. Тем не менее, они вполне себе логичные и очень даже разумные.

Слушатель: А числа тип, они целые?

А.С.: Целые. Непременно целые числа. Иррациональные чи­слаэто числа, которые не являются отношением двух целых чисел. Рациональное числоэто отношение двух целых.

Есть еще одно труднопроизносимое слово, оно тоже в философ­ском смысле кое-что означает. Слово «трансцендентно». Что же оно означает в житейском (не математическом) смысле?

Слушатель: Находится за пределами.

А.С.: За пределами чего бы то ни было.

Слушатель: То есть иррациональное поведениеэто поведе­ние странное, но всё же в каких-то рамках. А трансцендентноеэто что-то за пределами понимания окружающих.