§124. Карл Фридрих Гаусс (1829) в работе «Об одном новом общем законе механики» постулировал принцип наименьшего принуждения84, сформулировав, что «движение системы материальных точек, связанных между собой произвольным образом и подверженных любым влияниям, в каждое мгновение происходит в наиболее совершенном, какое только возможно, согласии с тем движением, каким обладали бы эти точки, если бы все они стали свободными, то есть происходит с наименьшим возможным принуждением, если в качестве меры принуждения, применённого в течение бесконечно малого мгновения, принять сумму произведений массы каждой точки на квадрат величины её отклонения от того положения, которое она заняла бы, если бы была свободной». [235].
§125. Симеон Дени Пуассон (1829) вывел эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления, поле потенциала скорости в гидродинамике. [236] Это уравнение имеет вид равенства оператора Лапласа85 и вещественной или комплексной функции на некотором многообразии. Если функция стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа, как частный случай уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Джорджа Грина (1828); например, экранированное уравнение Пуассона. [237] Есть различные методы для получения численных решений86.
§126. Немецкий астроном Фридрих Вильгельм Август Аргеландер (1830) разработал простой метод визуальных оценок блеска исследуемой звезды по сравнению с окружающими постоянными звёздами (метод степеней), который широко применяется и поныне, впервые ввёл десятые доли в измерение звёздных величин, ввел современную номенклатуру переменных звёзд. [238] Аргеландер предложил обозначать переменные звезды каждого созвездия, в порядке их обнаружения, заглавными буквами латинского алфавита начиная с от R до Z (поскольку буквы до Q встречались в названии звезд в атласе Байера). [239] Например, первая переменная обнаруженная в созвездии Андромеды получала название R Andromedae или сокращенно R And. Вторая переменная звезда в этом же созвездии получила название S And и так далее до Z. В 1843 году вышел в свет труд Аргеландера «Новая Уранометрия» атлас и каталог всех звезд, видимых невооруженным глазом. [240] В нём были упорядочены обозначения звезд, четко разграничены созвездия и более точно (до десятых долей) указаны звёздные величины.
§127. Бенуа Поль Эмиль Клапейрон (1834) придал математическую форму идеям Карно, содержащим фактически формулировку второго начала термодинамики, и впервые ввёл в термодинамику графический метод индикаторные диаграммы, в частности предложил систему координат давление и объем (р-V). [241] Он вывел уравнение состояния идеального газа, объединяющее закон БойляМариотта, закон Гей-Люссака и закон Авогадро, которое обобщено в 1874 году Дмитрием Ивановичем Менделеевым и впоследствии названо уравнением МенделееваКлапейрона, как формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. [242] Идеальным газом называют газ, для которого можно пренебречь размерами молекул и силами молекулярного взаимодействия; соударения молекул в таком газе происходят по закону соударения упругих шаров. Реальные газы ведут себя подобно идеальному, когда среднее расстояние между молекулами во много раз больше их размеров, то есть при достаточно больших разрежениях87.
§128. Уильям Роуэн Гамильтон (18341835) указал способ построения «фундаментальной функции» (функции Гамильтона), из которой дифференцированием и конечными преобразованиями, без какого-либо интегрирования, получаются все решения вариационной задачи, опубликовав новый вариационный принцип, известный ныне как принцип стационарного или наименьшего действия, или принцип Гамильтона для механических систем со стационарными голономными связями. [243,244] Проварьировав действие независимо по всем обобщенным координатам и сопряженным им импульсам посредством лагранжиана динамической системы, Гамильтон получил новую форму уравнений движения механических систем, так называемые, канонические уравнения Гамильтона. Полученная система канонических уравнений содержит вдвое больше дифференциальных уравнений, чем у Лагранжа, но зато все они первого порядка, тогда как у Лагранжа второго. Принцип наименьшего действия Гамильтона, точнее принцип стационарности действия способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска стационарного88 значения специального функционала действия89. Принцип стационарности действия наиболее важный среди семейства экстремальных принципов. Набор координат и импульсов характеризует, в том числе и в каждый момент времени, динамическое состояние системы и, таким образом, полностью определяет эволюцию (движение) данной системы.
§129. Французский математик, механик и инженер Гаспар-Гюстав де Кориолис (1835) обратил внимание на эффект, что во вращающейся системе отсчета (например, на поверхности Земли) наблюдателю кажется, что тела движутся по изогнутой траектории. [245] В его статье о выходе энергии машин с вращающимися частями, такими как водяные колеса, рассматривались дополнительные силы, которые обнаруживаются при вращении. Кориолис разделил эти дополнительные силы на две категории. Вторая категория содержала силу, возникавшую из поперечного произведения угловой скорости системы координат и проекции скорости частицы в плоскость, перпендикулярную оси вращения системы. Кориолис называл эту силу «составной центробежной силой» из-за ее аналогии с центробежной силой, отнесенной к первой категории. Иногда этот эффект объясняют действием некой фиктивной силы силы Кориолиса (одна из сил инерции, использующаяся при рассмотрении движения материальной точки относительно вращающейся системы отсчёта). Добавление силы Кориолиса к действующим на материальную точку физическим силам позволяет учесть влияние вращения системы отсчёта на такое движение90.
§130. Обобщение принципа наименьшего осуществил Карл Густав Якоб Якоби (1837), рассмотрев проблему геометрически, как нахождение экстремалей вариационной задачи в конфигурационном пространстве с неевклидовой метрикой. [246] В частности, Якоби указал, что при отсутствии внешних сил траектория системы представляет собой геодезическую линию в конфигурационном пространстве.
§131. В 1838 году под редакцией Джоржа Бидделя Эйри был опубликован каталог циркумполярных91 звёзд Стивена Грумбриджа, умершего в 1832 году. [247] Каталог насчитывал 4239 звёзд вплоть до восьмой-девятой величины, которые Грумбридж фиксировал при помощи изготовленного в 1806 году меридианного круга по его заказу конструктором инструментов Эдвардом Траутоном.
§132. В 1838 году Фридрих Вильгельм Бессель, проведя ряд вычислений расстояний до звезд, опубликовал очень надёжный параллакс звезды 61 Лебедя и правильно измерил такое расстояние. [248] Эти измерения впервые доказали, что звёзды это далёкие солнца, и стало ясно, что светимость всех этих объектов соответствуют солнечным значением92. В 1841 году по данным многих измерений Бессель вычислил размеры земного эллипсоида, которые широко применялись в геодезии и картографии вплоть до середины XX века, а в 1844 году предсказал наличие у Сириуса и Проциона малоразличимых звёзд-спутников. [249,250]
§133. Австриец Кристиан Доплер (1842) теоретически предсказал эффект, названный его именем, согласно которому воспринимаемая частота волны зависит от относительной скорости ее источника. [251,252] Первая экспериментальная проверка была сделана голландцем Кристианом Баллотом, который посадил духовой оркестр в открытый железнодорожный вагон, а на платформе собрал группу музыкантов с абсолютным слухом. Всякий раз, когда состав с музыкальным вагоном проезжал мимо платформы, духовой оркестр тянул какую-либо ноту, а наблюдатели (слушатели) записывали слышащуюся им нотную партитуру. [253] Как и ожидалось, кажущаяся высота звука оказалась в прямой зависимости от скорости поезда, что и было предсказано законом Доплера.
§134. Гамильтон (1844) ввел в алгебраическое исчисление кватернионы93 систему гиперкомплексных чисел, образующую векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел, которая удобна для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и получившая широкое распространение в механике. [254] Умножение кватернионов не является коммутативным, поэтому алгебраическая система кватернионов является телом, но не полем.
§135. В 1845 году Майкл Фарадей сделал несколько выдающихся открытий, в том числе: поворот плоскости поляризации света в веществе, помещённом в магнитное поле (так называемый «эффект Фарадея») и диамагнетизм. [255] Он верил, что свет это электромагнитное явление, и поэтому на него должны воздействовать электромагнитные силы. Он потратил значительные усилия на поиски доказательств электрических сил, влияющих на поляризацию света через то, что теперь известно как электрооптические эффекты, начиная с разложения электролитов. Фарадей попытался исследовать влияние магнитных сил на свет, проходящий через различные вещества. После нескольких неудачных попыток ему довелось испытать кусок «тяжелого» стекла, содержащего следы свинца, который он сделал во время своей предыдущей работы по производству стекла. Фарадей заметил, что когда луч поляризованного света проходит через стекло в направлении приложенной магнитной силы, поляризация света поворачивается на угол, пропорциональный силе этой силы. Позже Фаредей смог воспроизвести этот эффект в нескольких других твердых телах, жидкостях и газах, приобретя более сильные электромагниты. Он писал, что когда противоположные магнитные полюса находились на одной стороне, на поляризованный луч оказывалось воздействие, и таким образом было доказано, что магнитная сила и свет имеют отношение друг к другу. Таким образом Фарадей установил продольный магнитооптический эффект94, который заключается в том, что при распространении линейно-поляризованного света через оптически неактивное вещество, находящееся в магнитном поле, наблюдается вращение плоскости поляризации света. [256] А подводя итоги сделал вывод, что ему удалось осветить магнитную кривую или силовую линию и намагнитить луч света. Экспериментальные методы Фарадея были недостаточно чувствительны, и эффект был измерен только тридцать лет спустя Джоном Керром.