С помощью этой конструкции фон Неймана аксиоматическая система Цермело Френкеля смогла исключить парадокс Рассела как невозможный. Следующей проблемой стал вопрос о том, можно ли определить эти конструкции, или этот объект не подлежит улучшению. Строго отрицательный ответ был получен в сентябре 1930 года на математическом конгрессе в Кенигсберге, на котором Курт Гёдель представил свою теорему о неполноте.
Ввёл в математику классы, получившие название классов Шаттена фон Неймана.
Математические основы квантовой механики
Фон Нейман был одним из создателей математически строгого аппарата квантовой механики. Свой подход к аксиоматизации квантовой механики он изложил в работе «Математические основы квантовой механики» в 1932 году.
После завершения аксиоматизации теории множеств фон Нейман занялся аксиоматизацией квантовой механики. Он сразу понял, что состояния квантовых систем могут быть рассмотрены как точки в гильбертовом пространстве, подобно тому, как в классической механике состояниям сопоставляются точки 6N-мерного фазового пространства. В таком случае обычные для физики величины (такие как позиция и импульсы) могут быть представлены как линейные операторы над гильбертовым пространством. Таким образом, изучение квантовой механики было редуцировано к изучению алгебр линейных эрмитовых операторов над гильбертовым пространством.
Надо заметить, что в этом подходе принцип неопределенности, согласно которому точное определение местоположения и импульса частицы одновременно невозможны, выражается в некоммутативности соответствующих этим величинам операторов. Эта новая математическая формулировка включила в себя формулировки Гейзенберга и Шрёдингера как частные случаи.
Теория операторов
Главными работами фон Неймана по теории колец операторов стали работы, связанные с алгебрами фон Неймана. Алгебра фон Неймана это алгебра ограниченных операторов на гильбертовом пространстве, которая замкнута в слабой операторной топологии и содержит единичный оператор.
Теорема фон Неймана о бикоммутанте доказывает, что аналитическое определение алгебры фон Неймана эквивалентно алгебраическому определению как алгебры ограниченных операторов на гильбертовом пространстве, совпадающей со своим вторым коммутантом.
В 1949 Джон фон Нейман ввел понятие прямого интеграла. Одной из заслуг фон Неймана считается редукция классификации алгебр фон Неймана на сепарабельных гильбертовых пространствах к классификации факторов.
Клеточные автоматы и живая клетка
Концепция создания клеточных автоматов являлась порождением антивиталистической идеологии (индоктринации), возможности создания жизни из мертвой материи. Аргументация виталистов в XIX веке не учитывала, что в мертвой материи возможно хранение информации программы, которая может изменить мир (например, станок Жакара. Жаккардовый ткацкий станок является примером машины с программным управлением. Картонная перфокарта несла информацию в двоичном коде о верхнем или нижнем положении каждой основной нити). Нельзя сказать, что идея клеточных автоматов перевернула мир, но она нашла применение почти во всех областях современной науки.
Будучи экспертом в математике ударных волн и взрывов во время Второй мировой войны фон Нейман работал консультантом Лаборатории баллистических исследований (Army Ballistics Research Laboratory) Управления боеприпасов Армии США. По приглашению Оппенгеймера Фон Нейман был привлечен к работе в Лос-Аламосе над Манхеттэнским проектом начиная с осени 1943 года, где он работал над расчетами сжатия плутониевого заряда до критической массы путем имплозии.
Расчеты по этой задаче требовали больших вычислений, которые поначалу осуществлялись в Лос-Аламосе на ручных калькуляторах, потом на механических табуляторах IBM 601, где использовались перфокарты. Фон Нейман, свободно разъезжая по стране, собирал информацию из разных источников о текущих проектах по созданию электронно-механических и полностью электронных компьютеров.
Фон Нейман помогал в разработке компьютеров ENIAC и EDVAC, внес вклад в развитие науки о компьютерах в своей работе «Первый проект отчёта о EDVAC», где представил научному миру идею компьютера с программой, хранимой в памяти. Эта архитектура до сих пор носит название архитектуры фон Неймана, и долгие годы реализовывалась во всех компьютерах и микропроцессорах.
После окончания войны фон Нейман продолжил работу в этой области, разрабатывая высокоскоростной исследовательский компьютер IAS-машину в Принстонском университете, который предполагалось использовать для ускорения расчетов по термоядерному оружию.
В честь Фон Неймана был назван компьютер JOHNNIAC, созданный в 1953 году в Корпорации RAND.
Яросла́в Ива́нович Грди́на
(18711931) российский и советский учёный-механик и инженер, основоположник динамики живых организмов. В круг научных интересов Я. И. Грдины входили теория центробежных регуляторов, теория устойчивости, теоретическая механика. В математике занимался теорией случайных ошибок.
Теория автоматического регулирования
В своих работах по теории устойчивости и теории центробежных регуляторов Я. И. Грдина развивал идеи И. А. Вышнеградского основоположника теории автоматического регулирования. Разрабатывая теорию центробежных регуляторов, Грдина составил дифференциальные уравнения движения регулятора, рассмотрел наивыгоднейший процесс регулирования, выяснил предельный размах муфты регулятора, нашёл условия устойчивости регулятора, исследовал изменение скорости машины во время регулирования. Он также изучал динамическую устойчивость центробежных регуляторов при прерывном регулировании и установил критерий устойчивости хода машины.
Динамика живых организмов
В серии работ, опубликованных в 19101916 гг. (как в «Известиях Екатеринославского высшего горного училища», так и отдельными книгами), «Меры отклонения в механике» (1910), «Динамика живых организмов» (1911), «Примечания к механике живых организмов» (1912), «Заметки по динамике живых организмов» (1916) и др. Я. И. Грдина закладывает основы динамики живых организмов, внося тем самым весомый вклад в становление биомеханики и биокибернетики. В них Грдина показал, что движение живых организмов описывается помимо характерных для обычных механических систем дифференциальных уравнений динамики ещё и дополнительными дифференциальными уравнениями кинематических «волевых связей» (такие уравнения могут иметь любой порядок).
Специфику механики живых организмов Я. И. Грдина видел в том, что организм может управлять величиной внутренних сил (отвечающим взаимодействиям между отдельными его частями), изменяя по своему желанию характер своего движения. Тем самым живой организм обладает свободой воли, которую Грдина характеризует при помощи так называемых «волевых связей» и «волевых параметров». В основу своих исследований динамики живых механизмов Грдина положил принцип наименьшего принуждения (отметив при этом неприменимость для динамики живых организмов интегральных принципов механики). Применяя аппарат аналитической механики, он выводит уравнения динамики живого организма в различных вариантах (в форме уравнений Лагранжа первого и второго рода, уравнений Аппеля, уравнений Гамильтона); при этом он рассматривал как голономные, так и неголономные связи. Грдина обосновал также справедливость применения к живым организмам общих теорем динамики и соответствующих законов сохранения.
Обсуждая характер зависимости «волевых связей» от «волевых параметров», Грдина указывал, что от скоростей изменения волевых параметров могут явно зависеть лишь ускорения точек живого организма, но не их скорости (в противном случае разрывность «волевых скоростей» влекла бы разрывы частей организма).
В качестве главной трудности, препятствующей практическому применению разработанной теории, Грдина отмечал тот факт, что уравнения динамики живых организмов содержат «волевые параметры», значения которых априори неизвестны. Предвосхищая будущее развитие робототехники, Грдина указывал, что в будущем станет возможным искусственное создание живых организмов; тогда волевые параметры будут задаваться заранее, и уравнения Грдины можно будет использовать для определения закона движения организма.
Разработанное Я. И. Грдиной понятие о «волевых связях» совпадает, по существу, с введённым в 1921 г. А. Бегеном понятием сервосвязей, которое с течением времени нашло многообразные применения в теории автоматического управления, робототехнике, вычислительной механике. Сам Грдина вполне осознавал возможности технических приложений своей теории в частности, он отмечал, что человек, управляющий каким-либо транспортным средством, может рассматриваться как часть сложной механической системы, включающей самого́ человека и транспортное устройство с двигателем и средствами управления; такая система обладает принципиальным сходством с живым организмом.